z^3 + 8 = 0 теңдеуінің барлық түбірлері.
z^3 + 8 = 0 теңдеуінің барлық түбірлері.
В задании требуется найти все корни уравнения z³ + 8 = 0. Отметим, что это уравнение можно переписать как z³ = –8.
Для поиска корней комплексного числа –8 представим его в показательной (или тригонометрической) форме. Число –8 можно записать в виде:
–8 = 8 · cis(π),
где cis(π) означает cos(π) + i sin(π).
Как найти корни кубического уравнения? По формуле для нахождения n‑ых корней комплексного числа:
z = √[n]{R} · cis((θ + 2πk)/n), где k = 0, 1, …, n – 1.
В нашем случае n = 3, R = 8 и θ = π. Таким образом, корни будут:
-
При k = 0:
z₀ = ²√[3]{8} · cis((π + 0)/3) = 2 · cis(π/3) = 2 · (cos(π/3) + i sin(π/3)).
cos(π/3) = ½, sin(π/3) = √3/2, поэтому
z₀ = 2 · (½ + i·(√3/2)) = 1 + i√3. -
При k = 1:
z₁ = 2 · cis((π + 2π)/3) = 2 · cis(π) = 2 · (cos(π) + i sin(π)) = 2 · (–1 + i·0) = –2. -
При k = 2:
z₂ = 2 · cis((π + 4π)/3) = 2 · cis(5π/3) = 2 · (cos(5π/3) + i sin(5π/3)).
cos(5π/3) = ½, sin(5π/3) = –√3/2, таким образом
z₂ = 2 · (½ – i·(√3/2)) = 1 – i√3.
Итак, все корни уравнения z³ + 8 = 0:
- z = 1 + i√3,
- z = –2,
- z = 1 – i√3.
Сен z^3+8=0 теңдеуінің түбірлерін табу керек дейсің. Мінекей, осы теңдеуді шешу жолын оқиық.
Бірінші қадам: Форманы өзгерту
Теңдеуді былай жазайық:
( z^3 = -8 )
Осыдан көреміз, оң жақтағы -8 санын комплекс сан ретінде ( 8 \text{cis}(\pi) ) деп жаза аламыз (мұндағы (\text{cis}(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta)).
Екінші қадам: Үшінші дәрежелі теңдеудің түбірлерін табу
Комплекс сандардың кубтық түбірлерін табу үшін формуланы қолданамыз:
( z = \sqrt[3]{8},\text{cis}\left(\frac{\pi+2\pi k}{3}\right) )
мұндағы ( k=0, 1, 2 ).
Үшінші қадам: Әрбір түбірді нақты есептейміз
• ( k=0 ) болғанда:
( z = 2,\text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1+i\sqrt{3} ).
• ( k=1 ) болғанда:
( z = 2,\text{cis}\left(\frac{\pi+2\pi}{3}\right) = 2,\text{cis}(\pi) = 2\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) = 2(-1+0i) = -2 ).
• ( k=2 ) болғанда:
( z = 2,\text{cis}\left(\frac{\pi+4\pi}{3}\right) = 2,\text{cis}\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1-i\sqrt{3} ).
Қорыта айтқанда, ( z^3+8=0 ) теңдеуінің барлық түбірлері:
( z=1+i\sqrt{3} ), ( z=-2 ), және ( z=1-i\sqrt{3} ).
Осылайша, дәлелдедік:
Дұрыс жауап – ( z=1+i\sqrt{3} ), ( z=-2 ), ( z=1-i\sqrt{3} ).