z^3 + 8 = 0 теңдеуінің барлық түбірлерін табыңыз.
z^3 + 8 = 0 теңдеуінің барлық түбірлерін табыңыз.
Бізден z³ + 8 = 0 теңдеуінің барлық түбірлерін табуды сұрайды. Бұл теңдеуді шешу үшін алдымен оны мынандай түрде жазамыз:
z³ = -8
- Алдымен –8 санын полярлық формада жазамыз. –8 = 8·(cos π + i sin π) немесе –8 = 8e^(iπ).
- Tеңдеудің түбірлері былай табылады:
z = ³√8 · e^(i(π + 2πk)/3), мұнда k = 0, 1, 2. Мұнда ³√8 = 2.
Әр k мәніне жеке есептейміз:
• k = 0:
z = 2·e^(iπ/3) = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 2(½ + i(√3)/2) = 1 + i√3.
• k = 1:
z = 2·e^(i(π+2π)/3) = 2·e^(iπ) = 2(cos π + i sin π) = 2(–1 + 0i) = –2.
• k = 2:
z = 2·e^(i(π+4π)/3) = 2·e^(i5π/3) = 2(cos(5π/3) + i sin(5π/3)) = 2(½ – i(√3)/2) = 1 – i√3.
Осылайша, теңдеудің түбірлері:
z = 1 + i√3, z = –2, z = 1 – i√3.
Бұл шешу жолын қолданғанда полярлық форма мен комплекс санның тригонометриялық түрі маңызды рөл атқарады. Егер комплекс сандардың полярлық форма мен тригонометриялық түрімен жұмыс істеуді білсеңіз, мұндай теңдеулерді шешу оңай болады.
Мы ищем комплексные корни уравнения
z³ + 8 = 0.
Сначала перепишем его в виде z³ = –8. Отметим, что число –8 можно представить в тригонометрической (или показательной) форме. Поскольку –8 = 8·(cos π + i·sin π), мы можем найти корни уравнения по формуле для нахождения n‑ых корней комплексного числа.
Корни уравнения z³ = 8·(cos π + i·sin π) имеют вид:
z = 2 [cos((π + 2πk)/3) + i·sin((π + 2πk)/3)], где k = 0, 1, 2,
поскольку 2³ = 8.
Разберем по-отдельности каждое значение k:
при k = 0:
угол = (π + 0) / 3 = π/3,
z = 2 [cos(π/3) + i·sin(π/3)] = 2 [(1/2) + i·(√3/2)] = 1 + i√3.
при k = 1:
угол = (π + 2π) / 3 = (3π)/3 = π,
z = 2 [cos π + i·sin π] = 2 [–1 + 0·i] = –2.
при k = 2:
угол = (π + 4π) / 3 = (5π)/3,
z = 2 [cos(5π/3) + i·sin(5π/3)] = 2 [(1/2) – i·(√3/2)] = 1 – i√3.
Таким образом, все корни уравнения z³ + 8 = 0 равны:
z = 1 + i√3, z = –2, z = 1 – i√3.