$y = x^3 - 3x^2 + 2$ функциясының экстремум нүктелері

Математика
1

y = x^3 - 3x^2 + 2 функциясының экстремум нүктелері.

y = x^3 - 3x^2 + 2 функциясының экстремум нүктелері.

2

Функция задана выражением y = x³ - 3x² + 2. Нужно найти её критические точки и определить, в каких из них функция достигает максимума или минимума.

Сначала найдём производную:

y’ = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

Приравниваем производную к нулю:

3x(x - 2) = 0

Получаем два критических значения: x = 0 и x = 2.

Чтобы определить характер экстремума, находим вторую производную:

y’’ = 6x - 6

Определяем знак второй производной в критических точках:

Для x = 0: y’‘(0) = 6·0 - 6 = -6 (< 0) → функция в точке x = 0 имеет локальный максимум.
Для x = 2: y’'(2) = 6·2 - 6 = 6 (> 0) → функция в точке x = 2 имеет локальный минимум.

Подставим полученные x в исходное выражение функции для нахождения соответствующих y:

При x = 0: y(0) = 0³ - 3·0² + 2 = 2 → локальный максимум в точке (0, 2).
При x = 2: y(2) = 2³ - 3·2² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 → локальный минимум в точке (2, -2).

Вывод: экстремум нүктелері – локальный максимум в точке (0; 2) и локальный минимум в точке (2; -2).

3

Қысқаша айтқанда, сіз y = x^3 - 3x^2 + 2 функциясының экстремум нүктелерін анықтауды сұрап отырсыз. Енді талдап шығайық.

• Алдымен, функцияның экстремум нүктелерін табу үшін туындысын есептейміз:
$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x.$$
Туынды нөлге тең болған жерлер – критикалық нүктелер, оларды табу үшін:
$$3x^2 - 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(x - 2) = 0.$$
Осыдан, x=0 және x=2 деген екі нүкте шығады.

• Келесі қадам – әрбір критикалық нүктенің экстремум түрін анықтау. Ол үшін екінші туындыны аламыз:
$$y’’ = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6.$$

  • x=0 үшін:
    $$y’'(0)=6\cdot 0-6=-6.$$
    Екінші туынды теріс болғандықтан, x=0 нүктесінде функция жергілікті максимумға ие.
  • x=2 үшін:
    $$y’'(2)=6\cdot 2-6=6.$$
    Екінші туынды оң болғандықтан, x=2 нүктесінде функция жергілікті минимумға ие.

• Соңғы рет функция мәндерін табамыз:

  • x=0 үшін:
    $$y(0)=0^3-3\cdot0^2+2=2,$$
    Демек, максимумы – (0,2).
  • x=2 үшін:
    $$y(2)=2^3-3\cdot2^2+2=8-12+2=-2,$$
    Демек, минимумы – (2,-2).

Қорытындылай келе,

  • x=0-де (0,2) нүктесінде функцияның жергілікті максимумы,
  • x=2-де (2,-2) нүктесінде функцияның жергілікті минимумы бар.

Осылайша, y = x^3 - 3x^2 + 2 функциясының экстремум нүктелері (0,2) (максимум) және (2,-2) (минимум).