y = x^2 қисығы мен y = 4 түзуі арасындағы ауданды табыңыз.
y = x^2 қисығы мен y = 4 түзуі арасындағы ауданды табыңыз.
В этом задании нужно найти площадь области, ограниченной кривой y = x² и прямой y = 4.
Пересечение кривой и прямой определяется уравнением:
x² = 4 ⇒ x = -2 и x = 2.
Площадь A вычисляется по формуле интеграла разности между верхней и нижней функцией:
A = ∫[от x=-2 до x=2] (4 – x²) dx.
Заметим, что функция симметрична относительно оси Oy. Поэтому можно вычислить интеграл для x от 0 до 2 и умножить результат на 2:
A = 2 ∫[от 0 до 2] (4 – x²) dx.
Вычисляем определённый интеграл:
∫ (4 – x²) dx = 4x – x³/3.
Подставляем пределы от 0 до 2:
(4∙2 – 2³/3) – (4∙0 – 0³/3) = 8 – 8/3 = (24/3 – 8/3) = 16/3.
Умножаем результат на 2:
A = 2∙(16/3) = 32/3.
Ответ: площадь области, ограниченной кривой y = x² и прямой y = 4, равна 32/3.
Мәселе: y = x² қисығы мен y = 4 түзуі қиылысатын нүктелер арасында қалыптасқан аудан табылуы керек.
Алдымен, қиылысу нүктелерін табамыз. y = x² мен y = 4 теңдігінен:
x² = 4
⇒ x = -2 немесе x = 2
Яғни, интегралдау шекаралары -2 мен 2 болады.
Енді ауданын табу үшін, жоғарыдағы функцияның (түзудің) мәнінен төмендегі қисықтың (x²) мәнін алып, интегралдаймыз:
A = ∫[x=-2, x=2] (4 – x²) dx
Қарапайым симметрияны пайдалану арқылы интегралды оң жақтан есептеп, екі еселей аламыз:
A = 2 × ∫[0, 2] (4 – x²) dx
Интегралды есептейміз:
∫ (4 – x²) dx = 4x – x³/3
Есептеу нәтижесінде:
∫[0, 2] (4 – x²) dx = (4×2 – 2³/3) – (0) = (8 – 8/3) = (24/3 – 8/3) = 16/3
Сонда аудан:
A = 2 × (16/3) = 32/3
Қорытындылай келе, y = x² қисығы мен y = 4 түзуі арасындағы аудан 32/3 бірліктен тұрады.