Ықшамдаңыз: $ \tan(π - α)\tan(\frac{π}{2} + α) - \cos(π + α)\sin(π - α) $.
Ықшамдаңыз: $ \tan(π - α)\tan(\frac{π}{2} + α) - \cos(π + α)\sin(π - α) $.
Біз берілген өрнекті ықшамдауға тырысайық:
[ \tan(π - α)\tan\left(\frac{π}{2} + α\right) - \cos(π + α)\sin(π - α) ]
Алдымен әрбір тригонометриялық функцияны ықшамдайық.
• \tan(π - α)
Тригонометриялық функцияның периодтылығы бойынша:
[ \tan(π - α) = -\tan(α) ]
• \tan\left(\frac{π}{2} + α\right)
Басқа белгілі ережеге сәйкес:
[ \tan\left(\frac{π}{2} + α\right) = -\cot(α) ]
Егер (\cot(α)) = (\frac{\cosα}{\sinα}) болса, онда
[ \tan\left(\frac{π}{2} + α\right) = -\frac{\cosα}{\sinα} ]
Сонымен, бірінші көбейтінді:
[ \tan(π - α)\tan\left(\frac{π}{2} + α\right) = \Bigl(-\tan(α)\Bigr)\Bigl(-\cot(α)\Bigr) = \tan(α)\cot(α) ]
Білеміз, (\tan(α)\cot(α) = 1).
• Енді екінші көбейтінді: (-\cos(π + α)\sin(π - α))
Бірінші функция үшін:
[ \cos(π + α) = -\cos(α) ]
Екінші функция бойынша:
[ \sin(π - α) = \sin(α) ]
Сәйкесінше:
[ \cos(π + α)\sin(π - α) = \bigl(-\cos(α)\bigr)\sin(α) = -\cos(α)\sin(α) ]
Өрнегі ішінде бұл нәтижені алып:
[ -\bigl( -\cos(α)\sin(α)\bigr) = \cos(α)\sin(α) ]
Осылайша, ықшамдалған өрнек:
[ 1 + \cos(α)\sin(α) ]
Қорытындылай келе, берілген өрнектің ықшам түрі
[ 1 + \sin(α)\cos(α) ]
болып табылады.
Давайте разберем выражение пошагово.
Начальное выражение:
tan(π – α) · tan(π/2 + α) – cos(π + α) · sin(π – α)
-
Приведем первый множитель: tan(π – α).
Используем формулу: tan(π – α) = –tan α. -
Приведем второй множитель: tan(π/2 + α).
Из формулы: tan(π/2 + α) = –cot α, где cot α = cos α/sin α. -
Перемножим результаты:
(–tan α) · (–cot α) = tan α · cot α = (sin α/cos α) · (cos α/sin α) = 1. -
Рассмотрим вторую часть выражения: –cos(π + α) · sin(π – α).
У нас есть:
cos(π + α) = –cos α,
sin(π – α) = sin α.
Тогда произведение: cos(π + α) · sin(π – α) = (–cos α) · sin α = –cos α · sin α.
И поскольку у нас стоит минус перед произведением, получаем:
– (–cos α · sin α) = +cos α · sin α. -
Объединяем результаты:
Первое слагаемое = 1, второе слагаемое = cos α · sin α.
Ответ: 1 + sin α · cos α.
Таким образом, исходное выражение упрощается до 1 + sin α cos α.