Ықшамдаңыз: \tan(π - α)\tan(\frac{π}{2} + α) - \cos(π + α)\sin(π - α)
Ықшамдаңыз: \tan(π - α)\tan(\frac{π}{2} + α) - \cos(π + α)\sin(π - α)
Давайте упростим выражение шаг за шагом.
Исходное выражение такое:
tan(π – α) · tan(π/2 + α) – cos(π + α) · sin(π – α)
Начнём с упрощения каждой из тригонометрических функций по отдельности.
- Функция tan(π – α).
Из тригонометрического тождества знаем, что tan(π – α) = –tan α.
- Функция tan(π/2 + α).
Известно, что tan(π/2 + α) = –cot α, а cot α = cos α/sin α, значит получаем: tan(π/2 + α) = –(cos α/sin α).
Теперь умножим их между собой:
tan(π – α) · tan(π/2 + α) = (–tan α) · [–(cos α/sin α)] = tan α · (cos α/sin α).
Заметим, что tan α = sin α/cos α, поэтому:
tan α · (cos α/sin α) = (sin α/cos α) · (cos α/sin α) = 1.
- Функция cos(π + α).
По тождеству cos(π + α) = –cos α.
- Функция sin(π – α).
Известно, что sin(π – α) = sin α.
Таким образом, произведение
cos(π + α) · sin(π – α) = (–cos α) · sin α = –(cos α · sin α).
Теперь подставляем результаты в исходное выражение:
1 – [–(cos α · sin α)] = 1 + cos α · sin α.
Можно оставить таким или записать в виде
1 + (1/2) · sin(2α),
используя тождество sin(2α) = 2sin α cos α.
Ответ: 1 + sin α cos α (или 1 + (sin2α)/2).
Мәселе мынадай:
Ықшамдау қажет:
tan(π – α) · tan(π/2 + α) – cos(π + α) · sin(π – α)
Алдымен мынандай қажетті тригонометриялық қатынастарды еске аламыз:
• tan(π – α) = –tan α
• tan(π/2 + α) = –cot α = –(cos α / sin α)
• cos(π + α) = –cos α
• sin(π – α) = sin α
Осы қатынастарды пайдаланып, өрнекті кезең-кезеңімен ықшамдаймыз.
-
Бірінші көбейтінді:
tan(π – α) · tan(π/2 + α) = (–tan α) · (–cos α/sin α) = tan α · (cos α/sin α).
Бірақ tan α = sin α/cos α болғандықтан:
tan α · (cos α/sin α) = (sin α/cos α) · (cos α/sin α) = 1. -
Екінші көбейтінді:
–cos(π + α) · sin(π – α) = –(–cos α) · sin α = cos α · sin α.
Сондықтан, бастапқы өрнек былай ықшамдалады:
1 + sin α · cos α.
Демек, дұрыс ықшамдалған түрі:
1 + sin αcos α.