Ықшамдаңыз: $ \cos α \cot α + \sin α $.
Ықшамдаңыз: $ \cos α \cot α + \sin α $.
Біздің мақсатымыз – мына өрнекті ықшамдау:
cos α · cot α + sin α
Осы өрнекті ықшамдау үшін келесі қадамдарды орындаймыз:
• cot α дегеніміз – cos α / sin α, демек, cos α · cot α = cos α · (cos α / sin α) = cos²α / sin α.
• Енді өрнек былай өзгерді: cos²α / sin α + sin α.
• sin α-ны ортақ бөлімге келтіру үшін оны sin²α / sin α деп жазамыз.
• Нәтижесінде: (cos²α + sin²α) / sin α.
• Ал cos²α + sin²α = 1 (Бұл негізі тригонометриялық тепе-теңдік).
• Демек, өрнек 1 / sin α, яғни csc α болады.
Сондықтан өрнектің ықшамдалған түрі – csc α.
Сократим выражение. Можно заметить, что (\cotα = \frac{\cosα}{\sinα}). Подставим это:
[
\cosα \cotα + \sinα = \cosα \cdot \frac{\cosα}{\sinα} + \sinα = \frac{\cos^2α}{\sinα} + \sinα
]
Чтобы сложить две дроби, приведём их к общему знаменателю:
[
\frac{\cos^2α}{\sinα} + \sinα = \frac{\cos^2α + \sin^2α}{\sinα}
]
Используя основное тождество тригонометрии, которое гласит, что (\cos^2α + \sin^2α = 1), получим:
[
\frac{1}{\sinα} = \cscα
]
Таким образом, окончательный ответ:
[
\cosα \cotα + \sinα = \cscα
]