Вычислите: \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4}
A) \sqrt{3} \sin 15^{\circ}
B) \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12}
C) \sin \frac{5\pi}{12}
D) \cos \frac{\pi}{12}
E) \sqrt{3} \cos 45^{\circ}
Задание просит вычислить сумму:
cos(π/12) + cos(π/4).
Один из удобных способов – применить формулу приведения суммы двух косинусов:
cos A + cos B = 2 · cos((A+B)/2) · cos((A–B)/2).
Подставляем A = π/12 и B = π/4. Сначала вычисляем полусумму:
(A+B)/2 = (π/12 + π/4)/2 = (π/12 + 3π/12)/2 = (4π/12)/2 = (π/3)/2 = π/6.
Вычисляем разность:
(A–B)/2 = (π/12 – π/4)/2 = (π/12 – 3π/12)/2 = (–2π/12)/2 = –π/12.
Заметим, что cos(–π/12) = cos(π/12) (так как функция косинуса чётная).
Тогда:
cos(π/12) + cos(π/4) = 2 · cos(π/6) · cos(π/12).
При этом cos(π/6) = √3/2, следовательно:
= 2 · (√3/2) · cos(π/12) = √3 · cos(π/12).
Среди предложенных вариантов тот, который равен √3 · cos(π/12), соответствует варианту B.
Правильный ответ – вариант B.