Векторлардың арасындағы бұрышты табыңыз: $\vec{a}(1; -2; 3)$ және $\vec{b}(4; 1; -1)$

Математика
1

Векторлардың арасындағы бұрышты табыңыз: \vec{a}(1; -2; 3) және \vec{b}(4; 1; -1).

Векторлардың арасындағы бұрышты табыңыз: \vec{a}(1; -2; 3) және \vec{b}(4; 1; -1).

2

В задаче нужно найти угол между двумя векторами:
⃗a = (1, –2, 3)
⃗b = (4, 1, –1)

Для этого применяется формула скалярного произведения, которая связывает угол между векторами и их компоненты. Напомним, что скалярное произведение двух векторов определяется как
⃗a · ⃗b = |⃗a| |⃗b| cosθ,
откуда угол можно найти по формуле
cosθ = (⃗a · ⃗b) / (|⃗a| |⃗b|).

Шаг 1. Вычислим скалярное произведение ⃗a · ⃗b:
⃗a · ⃗b = (1 × 4) + ((–2) × 1) + (3 × (–1)) = 4 – 2 – 3 = –1.

Шаг 2. Найдем модуль (длину) вектора ⃗a:
|⃗a| = √(1² + (–2)² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14.

Шаг 3. Найдем модуль вектора ⃗b:
|⃗b| = √(4² + 1² + (–1)²) = √(16 + 1 + 1) = √18 = 3√2.

Шаг 4. Подставим найденные значения в формулу для угла:
cosθ = (–1) / (√14 · 3√2) = (–1) / (3√28).

Заметим, что √28 можно упростить:
√28 = √(4·7) = 2√7.
Тогда
cosθ = –1 / (3 · 2√7) = –1 / (6√7).

Шаг 5. Выразим угол через арккосинус:
θ = arccos(–1/(6√7)).

Если перевести значение в градусы, то вычисляем приближенно:
6√7 ≈ 6 × 2.6458 ≈ 15.8748,
cosθ ≈ –1/15.8748 ≈ –0.063,
θ ≈ arccos(–0.063) ≈ 93.6°.

Таким образом, угол между векторами равен θ = arccos(–1/(6√7)) или приблизительно 93.6°.

3

Бұл есепте векторлардың арасындағы бұрышты табу үшін екі вектордың скалярлық көбейтіндісі мен олардың ұзындықтарының көбейтіндісін қолданамыз.

Алдымен, векторларды қайта жазып алайық:
𝑎 = (1; -2; 3)
𝑏 = (4; 1; -1)

  1. Векторлардың скалярлық көбейтіндісін табамыз:
    𝑎 · 𝑏 = 1×4 + (–2)×1 + 3×(–1) = 4 – 2 – 3 = –1

  2. Әр вектордың модулін (ұзындығын) анықтаймыз:
    ||𝑎|| = √(1² + (–2)² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14
    ||𝑏|| = √(4² + 1² + (–1)²) = √(16 + 1 + 1) = √18 = 3√2

  3. Векторлардың арасындағы бұрышты табу формуласы:
    cos θ = (𝑎 · 𝑏) / (||𝑎|| · ||𝑏||)
    Осылайша,
    cos θ = –1 / (√14 · 3√2) = –1 / (3√(14×2)) = –1 / (3√28)
    Нақтылай кетейік, √28 = 2√7, сондықтан:
    cos θ = –1 / (3 × 2√7) = –1 / (6√7)

  4. Соңында бұрышты табамыз:
    θ = arccos(–1/(6√7))

Егер жуық есептеп шықсақ:
6√7 ≈ 6 × 2.6458 ≈ 15.8748, сондықтан cos θ ≈ –0.063
θ ≈ arccos(–0.063) ≈ 93.6° (градус)

Қорытындылай келе, векторлардың арасындағы бұрыштың дәл жауап формасы:
θ = arccos (–1/(6√7)),
ал жуық мәні ≈ 93.6 градус.