Векторлардың арасындағы бұрышты табыңыз: $ \vec{a}(1; -2; 3) $ және $ \vec{b}(4; 1; -1) $
Векторлардың арасындағы бұрышты табыңыз: $ \vec{a}(1; -2; 3) $ және $ \vec{b}(4; 1; -1) $
Мысалды былай қарастырайық: берілген векторлар
(\vec{a} = (1, -2, 3)) және (\vec{b} = (4, 1, -1)).
Олардың арасындағы бұрышты табу үшін скалярлы көбейтінді формуласы пайдаланылады:
(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}).
Есептеудің қадамдары:
-
Скалярлы көбейтінді:
(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + (-2) \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = 4 - 2 - 3 = -1.) -
Векторлардың ұзындығы:
(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}.)
(|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.) -
Бұрышты табу:
Алдымен (\cos\theta) табамыз:
(\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{18}} = \frac{-1}{\sqrt{252}}.)
(\sqrt{252})-ны ықшамдаймыз:
(\sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}).
Сонда:
[
\cos\theta = -\frac{1}{6\sqrt{7}}.
]
Сонымен, бұрыштың өзі:
[
\theta = \arccos\left(-\frac{1}{6\sqrt{7}}\right).
]
Осылайша, векторлардың арасындағы бұрыш:
(\theta = \arccos\left(-\frac{1}{6\sqrt{7}}\right)).
Найдем угол между векторами, используя формулу для скалярного произведения:
cosθ = (a·b) / (|a|·|b|).
Сначала вычислим скалярное произведение векторов a = (1, -2, 3) и b = (4, 1, -1):
a·b = 1∙4 + (–2)∙1 + 3∙(–1) = 4 – 2 – 3 = –1.
Теперь вычислим модуль каждого вектора:
|a| = √(1² + (–2)² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14,
|b| = √(4² + 1² + (–1)²) = √(16 + 1 + 1) = √18 = 3√2.
Подставим все в формулу:
cosθ = –1 / (√14 · 3√2) = –1 / (3√(14∙2)) = –1 / (3√28).
Упростим √28, зная, что 28 = 4∙7, тогда √28 = 2√7:
cosθ = –1 / (3∙2√7) = –1 / (6√7).
Найдем сам угол θ:
θ = arccos(–1/(6√7)).
Чтобы оценить численное значение, приблизим √7 ≈ 2.6458, тогда
6√7 ≈ 6∙2.6458 ≈ 15.8748,
cosθ ≈ –1/15.8748 ≈ –0.063.
Отсюда, используя калькулятор, получим:
θ ≈ arccos(–0.063) ≈ 93.6°.
Таким образом, угол между векторами примерно равен 93.6°.