Векторлар \vec{a}(2; -1) және \vec{b}(3; 4) арасындағы бұрышты табыңыз.
Векторлар \vec{a}(2; -1) және \vec{b}(3; 4) арасындағы бұрышты табыңыз.
Нам нужно найти угол между двумя векторами:
a = (2, –1) и b = (3, 4).
Для этого используется формула для расчёта угла между векторами через их скалярное произведение:
cos θ = (a · b) / (∥a∥ ∙ ∥b∥).
Рассмотрим шаги решения:
-
Вычисляем скалярное произведение векторов:
a · b = 2·3 + (–1)·4 = 6 – 4 = 2. -
Находим длину каждого вектора:
∥a∥ = √(2² + (–1)²) = √(4 + 1) = √5,
∥b∥ = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. -
Подставляем найденные значения в формулу:
cos θ = 2 / (√5 · 5) = 2 / (5√5). -
Наконец, угол между векторами находится как:
θ = arccos(2 / (5√5)).
Таким образом, искомый угол между векторами равен arccos(2 / (5√5)).
Сіз векторлар арасындағы бұрышты табу туралы сұрақ қойдыңыз, мұнда (\vec{a} = (2; -1)) және (\vec{b} = (3; 4)) векторлары берілген.
Алдымен, векторлар арасындағы бұрышты табу үшін мына формуланы қолданамыз:
[
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
]
1. Векторлардың скаляр көбейтіндісін табайық:
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = 6 - 4 = 2.
]
2. Векторлардың модульдерін есептейміз:
[
|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5},
]
[
|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
]
3. Бұрышты табу үшін:
[
\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5} \cdot 5} = \frac{2}{5\sqrt{5}}.
]
Осыдан (\theta = \arccos\left(\frac{2}{5\sqrt{5}}\right)) болады.
4. Сандық мәнін есептейік:
[
\sqrt{5} \approx 2.23607 \quad \Rightarrow \quad 5\sqrt{5} \approx 11.18035,
]
[
\cos \theta \approx \frac{2}{11.18035} \approx 0.1789.
]
(\arccos(0.1789)) шамамен (79.7^\circ) береді.
Қорытындылай келе, векторлар (\vec{a}(2; -1)) және (\vec{b}(3; 4)) арасындағы бұрыш шамамен (79.7^\circ) немесе дәл түрде (\theta = \arccos\left(\frac{2}{5\sqrt{5}}\right)) болады.