В прямом параллелепипеде стороны основания 2 \sqrt{2} см и 5 см образуют угол в 45^{\circ}. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите объем.
A) 55 \, \text{см}^3
B) 58 \, \text{см}^3
C) 60 \, \text{см}^3
D) 59 \, \text{см}^3
E) 61 \, \text{см}^3
В данном задании нас просят найти объём прямого параллелепипеда, если известны длины сторон основания, угол между ними и значение меньшей диагонали параллелепипеда.
Сначала определим площадь основания. Основание – это параллелограмм со сторонами a = 2√2 см и b = 5 см, угол между ними равен 45°. Площадь параллелограмма равна a · b · sin(угол), то есть
S = (2√2)·5·sin(45°) = 10√2 · (√2/2) = 10 см².
Далее необходимо найти высоту параллелепипеда. Задача использует понятие “меньшей диагонали”. В прямом параллелепипеде пространство диагонали получаются комбинацией диагоналей основания и высоты. У основания два диагонали, они равны:
d₁ = √(a² + b² + 2ab cos45°)
d₂ = √(a² + b² – 2ab cos45°).
Найдем их значения:
a² = (2√2)² = 8, b² = 25, 2ab cos45° = 2·(2√2)·5·(√2/2) = 20.
Получаем:
d₁ = √(8 + 25 + 20) = √53,
d₂ = √(8 + 25 – 20) = √13.
Так как меньшее число – √13, то меньшая диагональ параллелепипеда получается как диагональ, составленная из меньшей диагонали основания и высоты h:
√(h² + (√13)²) = √(h² + 13) = 7 см.
Отсюда h² + 13 = 49, откуда h² = 36, значит h = 6 см.
Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
V = S · h = 10 · 6 = 60 см³.
Таким образом, правильный ответ – вариант C) 60 см³.