Туындыны табыңыз: $ f(x) = \sin(2x) \cdot e^{3x} $
Туындыны табыңыз: $ f(x) = \sin(2x) \cdot e^{3x} $
Функция задана как произведение двух функций:
u(x) = sin(2x) и v(x) = e^(3x).
Чтобы найти производную f(x) = u(x)·v(x), используем формулу производной произведения:
f’(x) = u’(x)·v(x) + u(x)·v’(x).
Сначала находим производные u(x) и v(x).
-
Для u(x) = sin(2x) применяем правило цепочки. Производная sin(2x) равна cos(2x)·(2), то есть
u’(x) = 2cos(2x). -
Для v(x) = e^(3x) также правило цепочки: производная равна e^(3x)·3, то есть
v’(x) = 3e^(3x).
Подставляем в формулу:
f’(x) = 2cos(2x)·e^(3x) + sin(2x)·3e^(3x).
Фактором можно вынести e^(3x):
f’(x) = e^(3x)·[2cos(2x) + 3sin(2x)].
Ответ:
f’(x) = e^(3x)[2cos(2x) + 3sin(2x)].
Мысалы: f(x) = sin(2x) · e^(3x) функциясының туындысын табу керек.
• f(x) функциясы екі функцияның көбейтіндісі түрінде берілген:
u(x) = sin(2x) және v(x) = e^(3x).
• Көбейтінді ережесі бойынша:
f’(x) = u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x).
• Енді u(x)-тің туындысын табамыз.
u(x) = sin(2x) болғандықтан, тізбекті ереже бойынша:
u’(x) = cos(2x) · (2) = 2 cos(2x).
• Кейін v(x)-тің туындысын табамыз.
v(x) = e^(3x) болғандықтан, тізбекті ереже қолдану арқылы:
v’(x) = e^(3x) · (3) = 3 e^(3x).
• Енді көбейтінді ережесін қолданып туынды табамыз:
f’(x) = [2 cos(2x)] · e^(3x) + sin(2x) · [3 e^(3x)] = 2 e^(3x) cos(2x) + 3 e^(3x) sin(2x).
• Ортақ көбейтіншіні факторлау арқылы:
f’(x) = e^(3x) (2 cos(2x) + 3 sin(2x)).
Сонымен, f(x) = sin(2x) · e^(3x) функциясының туындысы:
f’(x) = e^(3x) (2 cos(2x) + 3 sin(2x)).