Туындыны табыңыз: $f(x) = e^{2x} \cdot \sin 3x$

Математика
1

Туындыны табыңыз: f(x) = e^{2x} \cdot \sin 3x.

Туындыны табыңыз: f(x) = e^{2x} \cdot \sin 3x.

2

Мы ищем производную функции f(x) = e^(2x)·sin(3x).

Воспользуемся правилом произведения: если f(x) = u(x)·v(x), то f '(x) = u '(x)·v(x) + u(x)·v '(x).

Выберем: u(x) = e^(2x) и v(x) = sin(3x).

Дифференцируем каждую функцию:

  1. u '(x): Производная от e^(2x) равна e^(2x)·2, то есть u '(x) = 2e^(2x).

  2. v '(x): Производная от sin(3x) равна cos(3x) · 3 (по правилу цепочки), то есть v '(x) = 3cos(3x).

Подставляем в формулу:

f '(x) = u '(x)·v(x) + u(x)·v '(x) = 2e^(2x)·sin(3x) + e^(2x)·3cos(3x).

Выносим общий множитель e^(2x):

f '(x) = e^(2x)·(2sin(3x) + 3cos(3x)).

Таким образом, производная функции равна:
f '(x) = e^(2x)·(2sin(3x) + 3cos(3x)).

3

Сұрақ: f(x) = e^(2x) · sin 3x функциясының туындысын табу керек.

Бұл функция екі элементтің көбейтіндісі: e^(2x) және sin 3x. Оларды көбейтінді ережесі бойынша туындыға айландыру керек.

  1. Алдымен, ескеретін ережелер:
    • Көбейтінді ережесі: егер f(x) = u(x) · v(x) болса, онда туындысы f '(x) = u '(x)v(x) + u(x)v '(x) болады.
    • Тізбекті туындылау ережесі: мысалы, e^(2x)-тің туындысы 2e^(2x) және sin 3x-тің туындысы 3 cos 3x болады.

  2. Енді бөлшектерін белгілейік:
    • u(x) = e^(2x) → u '(x) = 2e^(2x)
    • v(x) = sin 3x → v '(x) = 3 cos 3x

  3. Көбейтінді ережесін қолдану арқылы:
    f '(x) = u '(x)v(x) + u(x)v '(x)
    = 2e^(2x) · sin 3x + e^(2x) · 3 cos 3x

  4. Жалпы түрде e^(2x) шартының ортақ екенін көруге болады, сондықтан:
    f '(x) = e^(2x)(2 sin 3x + 3 cos 3x)

Қорытынды: Туынды f '(x) = e^(2x)(2 sin 3x + 3 cos 3x).