Тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: \sin2x = \cosx
Тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: \sin2x = \cosx
Мы ищем все решения уравнения
sin2x = cos x.
Первым шагом заметим, что с левой стороны можно выразить sin2x через sin x и cos x по формуле двойного угла:
sin2x = 2 sin x cos x.
Подставляем в уравнение:
2 sin x cos x = cos x.
Переносим всё в одну сторону:
2 sin x cos x - cos x = 0.
Видим, что общий множитель cos x можно вынести за скобку:
cos x (2 sin x - 1) = 0.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
-
cos x = 0.
Решение: cos x = 0, когда x = π/2 + πk, где k ∈ ℤ. -
2 sin x - 1 = 0 → sin x = 1/2.
Решение: sin x = 1/2, а это происходит при x = π/6 + 2πk и x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ ℤ.
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
x = π/2 + πk, x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ ℤ.
Если остались вопросы – спрашивайте!
Сұрақ – тригонометриялық теңдеу (\sin2x = \cos x)-ті шешуді талап етеді.
Бірінші қадамда (\sin2x) функциясын (2\sin x \cos x) деп жазамыз, яғни теңдеу:
(2\sin x \cos x = \cos x).
Мұнда екі жағдайды қарастырамыз:
• Егер (\cos x \neq 0) болса, онда екі жақты (\cos x)-ке бөлеміз:
(2\sin x = 1) → (\sin x = \frac{1}{2}).
(\sin x = \frac{1}{2}) теңдеуінің жалпы шешімі:
\(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) немесе \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), мұндағы \(k \in \mathbb{Z}\) — бүтін сан.
• Ал егер (\cos x = 0) болса, онда (x) келесі шартты қанағаттандыруы тиіс:
(x = \frac{\pi}{2} + \pi k), (k \in \mathbb{Z}).
Бұл жағдайда (\sin2x = \sin\left(2\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)\right) = \sin(\pi + 2\pi k) = 0), сол кезде (\cos x = 0) болғандықтан, теңдеу (0 = 0) түрінде қалады, яғни дұрыс.
Қорыта келе, теңдеудің жалпы шешімі келесідей:
[
x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.
]
Осылайша, жоғарыда көрсетілген барлық (x) мәндері теңдеуді қанағаттандырады.