Тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: $ 2\sin^2 x + 3\cos x = 0 $.
Тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: $ 2\sin^2 x + 3\cos x = 0 $.
Рассмотрим уравнение:
2sin²x + 3cos x = 0.
Первый шаг – выразить всё через один тригонометрический символ. Заметим, что можно использовать тождество sin²x = 1 – cos²x. Подставляем его в уравнение:
2(1 – cos²x) + 3cos x = 0
2 – 2cos²x + 3cos x = 0.
Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения:
–2cos²x + 3cos x + 2 = 0.
Чтобы избавиться от минусов, умножаем всё уравнение на (–1):
2cos²x – 3cos x – 2 = 0.
Получили квадратное уравнение относительно cos x. Решим его с помощью дискриминанта. Обозначая cos x = t, уравнение примет вид:
2t² – 3t – 2 = 0.
Вычисляем дискриминант D:
D = (–3)² – 4·2·(–2) = 9 + 16 = 25.
Найдем корни уравнения по формуле:
t = [3 ± √25] / (2·2) = [3 ± 5] / 4.
Получаем два решения:
- t = (3 + 5) / 4 = 8/4 = 2,
- t = (3 – 5) / 4 = –2/4 = –1/2.
Заметим, что значение cos x = 2 выходит за пределы допустимого диапазона значений (–1 ≤ cos x ≤ 1), поэтому этот корень отвергается.
Остается единственное уравнение:
cos x = –1/2.
Найдем углы, для которых косинус равен –1/2. В стандартном интервале [0, 2π) это происходит при:
x = 2π/3 и x = 4π/3.
Записывая общее решение, учитываем периодичность функции косинуса (период 2π):
x = 2π/3 + 2πk или x = 4π/3 + 2πk, где k ∈ ℤ.
Таким образом, решение исходного уравнения:
2sin²x + 3cos x = 0
⇔ cos x = –1/2
⇔ x = 2π/3 + 2πk или x = 4π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
Сізге берілген теңдеу – (2\sin^2 x + 3\cos x = 0). Мұны шешу үшін алдымен (\sin^2 x) түріндегі мүшені (\cos x) арқылы көрсететін тригонометриялық қатынасты қолданамыз.
Бірінші қадам – (\sin^2 x = 1 - \cos^2 x) екенін еске аламыз. Сонда теңдеуді былай жазамыз:
(2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0).
Осыны ашамыз:
(2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0).
Теңдеуді стандартты квадраттық түрге келтіру үшін барлық мүшелерді бір жаққа жинаймыз:
(-2\cos^2 x + 3\cos x + 2 = 0).
Көбіне оң коэффициенттермен жұмыс істеу жеңіл болатынан, екі жақты -1-ге көбейтеміз:
(2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0).
Енді бұл теңдеу (\cos x)-тің квадраты теңдеуі болып табылады. Айнымалыны (u = \cos x) деп белгілесек:
(2u^2 - 3u - 2 = 0).
Квадраттық теңдеудің дискриминанты:
(\Delta = (-3)^2 - 4\cdot2\cdot(-2) = 9 + 16 = 25).
Шешімін табамыз:
(u = \frac{3 \pm 5}{2\cdot 2}).
Осыдан екі нәтиже шығады:
-
(u = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2),
-
(u = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}).
Алайда, (\cos x) функциясының мәндері ([-1, 1]) аралығында болуы керек. Сондықтан ( \cos x = 2) қабылданбайды, себебі ол мүмкін емес. Қалған дұрыс нәтиже – (\cos x = -\frac{1}{2}).
Енді (\cos x = -\frac{1}{2}) болатын (x) мәндерін табамыз. Бұл мәндер периодтықтық қасиеті бар:
(\cos x = -\frac{1}{2}) теңдігі (x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) және (x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k) (мұндағы (k \in \mathbb{Z})) болып табылады.
Қорытыны:
Дұрыс жауап: (x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) және (x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k), мұндағы (k) – кез келген бүтін сан.
Осылайша, теңдеудің шешімін толық түсіндіңіз деп сенемін, егер сұрақтарыңыз болса, қосымша сұрай беріңіз!