Тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: $2\sin^2 x + 3\cos x = 0$

Математика
1

Тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: 2\sin^2 x + 3\cos x = 0

Тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: 2\sin^2 x + 3\cos x = 0

2

В данном задании нам нужно решить уравнение:
2·sin²x + 3·cos x = 0

Сначала перепишем выражение с использованием тригонометрической тождества sin²x = 1 - cos²x. Подставляем это выражение в уравнение:

2(1 - cos²x) + 3·cos x = 0
2 - 2cos²x + 3cos x = 0

Переносим все члены в одну сторону:

–2cos²x + 3cos x + 2 = 0

Чтобы убрать минус перед квадратом, домножим уравнение на –1:

2cos²x – 3cos x – 2 = 0

Теперь получаем квадратное уравнение относительно cos x. Найдём корни через дискриминант или разложением. Вычислим дискриминант:

Δ = (–3)² – 4·2·(–2) = 9 + 16 = 25

Найдем корни:

cos x = [3 ± √25] / (2·2) = [3 ± 5] / 4

Получаем два решения:

  1. При знаке “+”:
    cos x = (3 + 5) / 4 = 8/4 = 2
    Но функция косинуса принимает значения от –1 до 1, поэтому данное решение не подходит.
  2. При знаке “–”:
    cos x = (3 – 5) / 4 = (–2) / 4 = –1/2

Остается единственное допустимое уравнение:

cos x = –1/2

Это уравнение имеет решения на интервале [0, 2π]:

x = 2π/3 + 2πk и x = 4π/3 + 2πk, где k ∈ ℤ

Таким образом, общее решение исходного тригонометрического уравнения выглядит следующим образом:

x = 2π/3 + 2πk или x = 4π/3 + 2πk, где k ∈ ℤ

Если возникнут вопросы или потребуется дополнительное пояснение, обращайтесь!

3

Бірінші кезекте, теңдеуді қайта жазып, оның қалай шешілетінін қарайық:

Ұсынылған теңдеу:
2 sin² x + 3 cos x = 0

Осы теңдеуді шешу үшін жайлай түпкілікті қадамдарды жасаймыз.

  1. sin² x орнына 1 – cos² x қою арқылы, яғни тригонометриялық құрылымды пайдалану керек (sin² x + cos² x = 1):
    2(1 – cos² x) + 3 cos x = 0

  2. Даралап, жайлап кеңейтеміз:
    2 – 2 cos² x + 3 cos x = 0

  3. Теңдеуді стандартты квадраттық формаға келтіреміз:
    – 2 cos² x + 3 cos x + 2 = 0
    Екімен көбейтіп,(-1) көбейтеміз:
    2 cos² x – 3 cos x – 2 = 0

  4. Енді cos x-ты табу үшін квадраттық теңдеуді шығарамыз. Ол үшін дискриминантты (D) есептейміз:
    D = (–3)² – 4 · 2 · (–2) = 9 + 16 = 25
    Және квадраттық формуладан:
    cos x = [3 ± √25] / (2·2) = [3 ± 5]/4

  5. Екі мүмкін шешім:
    • алғашқысы: cos x = (3 + 5)/4 = 8/4 = 2
    Алайда, cos x мәні 2 бола алмайды, өйткені косинустың анықталу облысы [-1, 1] аралығында.
    • екіншісі: cos x = (3 – 5)/4 = (–2)/4 = –1/2
    Бұл шешім жарамды, өйткені –1/2 [-1, 1] аралығында.

  6. Соңында, cos x = –1/2 теңдеуін шешеміз. Ол нақты шаршы бұрыштарда:
    x = 2π/3 және x = 4π/3
    айта аламыз (егер бір период ішінде қарастыратын болсақ), ал жалпы шешім:
    x = 2π/3 + 2π k және x = 4π/3 + 2π k, мұндағы k бүтін сан.

Қорытындылай келсек, теңдеудің негізгі шешімі:

cos x = –1/2 (0 ≤ x < 2π талабында x = 2π/3, 4π/3)
Жалпы шешім:
x = 2π/3 + 2π k және x = 4π/3 + 2π k (k ∈ ℤ)

Осылайша тапсырма толық шешілді. Егер тағы да сұрақтарың болса, қуана жауап беремін!