Тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: $ 2\sin^2 x + 3\cos x = 0 $
Тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: $ 2\sin^2 x + 3\cos x = 0 $
Давайте рассмотрим уравнение: 2sin²x + 3cos x = 0
Чтобы решить его, можно выразить sin²x через cos x, используя основной тригонометрический тождество sin²x = 1 – cos²x. Подставляем:
2(1 – cos²x) + 3cos x = 0
2 – 2cos²x + 3cos x = 0
Теперь приведём уравнение к стандартной форме квадратного уравнения относительно cos x. Для удобства умножим обе части на (–1):
2cos²x – 3cos x – 2 = 0
Положим u = cos x, тогда уравнение имеет вид:
2u² – 3u – 2 = 0
Найдем дискриминант:
Δ = (–3)² – 4·2·(–2) = 9 + 16 = 25
Таким образом, корни уравнения:
u = [3 ± √25] / (2·2) = (3 ± 5)/4
Первый корень:
u₁ = (3 + 5)/4 = 8/4 = 2
Второй корень:
u₂ = (3 – 5)/4 = (–2)/4 = –1/2
Заметим, что cos x может принимать значения от –1 до 1. Значение u₁ = 2 не удовлетворяет этому условию, поэтому остаётся только u₂ = –1/2.
Итак, нужно решить cos x = –1/2. В стандартном промежутке [0, 2π] данное равенство имеет два решения:
x = 2π/3 и x = 4π/3
При этом общее решение выглядит так:
x = 2π/3 + 2πk или x = 4π/3 + 2πk, где k ∈ ℤ
Можно проверить: cos(2π/3) = –1/2 и cos(4π/3) = –1/2, а значит, исходное уравнение выполнено.
Таким образом, единственными решениями тригонометрического уравнения 2sin²x + 3cos x = 0 являются x = 2π/3 + 2πk и x = 4π/3 + 2πk, где k – любое целое число.
Бұл теңдеуді шешу үшін алдымен барлық функцияларды бір түрге келтірейік. Тапсырмада берілген теңдеу:
( 2\sin^2 x + 3\cos x = 0 ).
Мұндағы қадамдар:
• Алдымен (\sin^2 x) функциясын (\cos x)-пен байланыстырған тригонометриялық тождестволардың көмегімен өзгерту керек. Біздің қолымызда (\sin^2 x = 1-\cos^2 x) формуласы бар.
• Бұл формуланы теңдеуімізге қойсақ:
(2(1-\cos^2 x) + 3\cos x = 0).
• Жай қаласаң, жақшаларды ашып, реттеп шығайық:
(2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0).
• Енді теңдеу пернездей немесе квадраттық теңдеу түрінде жазылады. Барлығын оңайлықпен болжау үшін көбейткіштердің белгісін өзгертіп, қайта жазамыз:
(2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0).
• Мұнда (u=\cos x) деп қойсақ, ал мынадай квадраттық теңдеу аламыз:
(2u^2 - 3u - 2 = 0).
• Енді дискриминантты қарап, шешейік:
Дискриминант (D = (-3)^2 - 4\cdot2\cdot(-2)= 9 + 16 = 25).
• Өте оң нәтиже, сондықтан (u)-ның түбірлері:
(u = \frac{3 \pm 5}{4}).
• Екі мүмкін жағдай пайда болады:
- (u = \frac{3+5}{4} = 2),
- (u = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}).
• Алайда, (\cos x = 2) мүмкін емес, себебі косинустың мәндері ([-1;1]) аралығында болуы тиіс. Сондықтан тек (\cos x = -\frac{1}{2}) ғана шешімді береді.
• ( \cos x = -\frac{1}{2}) теңдеуінің жалпы шешімдері:
( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k ) және ( x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k ), мұндағы ( k ) — кез келген бүтін сан.
Қорытындылай келе, теңдеудің жалпылама шешімі:
( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k ) немесе ( x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k ), мұндағы ( k \in \mathbb{Z} ).
Осылайша, тапсырма дұрыс талданды және шешім толық екендігі дәлелденді. Егер сұрақтар туындаса, хабарласудан тартынбаңыз!