Тригонометриялық теңдеу: 2\cos^2 x + \sqrt{3}\sin x = 0.
Тригонометриялық теңдеу: 2\cos^2 x + \sqrt{3}\sin x = 0.
Берілген теңдеу: 2cos²x + √3·sin x = 0
Тапсырманың шарты бойынша, осы теңдеуді шешу керек. Шешудегі негізгі қадам – косинустың квадратына қатысты идентичностьты (cos²x = 1 – sin²x) қолдану арқылы теңдеуді синустың функциясы түріне келтіру.
-
Алдымен теңдеуді былай жазады:
2cos²x + √3 sin x = 0 -
cos²x емес, оның орнына 1 – sin²x қойамыз:
2(1 – sin²x) + √3 sin x = 0
Бұл өрнекті ашып аламыз:
2 – 2sin²x + √3 sin x = 0 -
Енді теңдеуді стандартты квадраттық теңдеу түріне келтіреміз:
–2sin²x + √3 sin x + 2 = 0
Көпшілік жағдайда оң коэффициентпен жазу ыңғайлы болғандықтан, екі жақты -1-ге көбейтейік:
2sin²x – √3 sin x – 2 = 0 -
Бұл жерде айнымалы ретінде u = sin x қойып, теңдеуді қарастырамыз:
2u² – √3u – 2 = 0 -
Квадраттық теңдеудің шешімін табу формуласы:
u = [√3 ± √((√3)² + 4·2·2)] / (2·2)
(Ескерту: Дискриминантта +16 көбейткіш шығады)
Дискриминант:
(√3)² + 16 = 3 + 16 = 19
Сондықтан,
u = [√3 ± √19] / 4
- Бізде екі тамыр:
u₁ = (√3 + √19) / 4
u₂ = (√3 – √19) / 4
Шамамен есептесек:
√3 ≈ 1.73, √19 ≈ 4.36
u₁ ≈ (1.73 + 4.36) / 4 ≈ 6.09/4 ≈ 1.52
u₂ ≈ (1.73 – 4.36) / 4 ≈ –2.63/4 ≈ –0.66
-
sin x тек -1 мен 1 аралығында бола алатыны үшін, u₁ = 1.52 жарамсыз, алайда u₂ = -0.66 жарамды мән болып табылады.
-
Демек, нақты шешім:
sin x = (√3 – √19) / 4 -
trigonometrиялық теңдеудің жалпы шешімі мына түрде жазылады. Егер α = arcsin(|(√19 – √3)|/4) ≈ arcsin(0.66) ≈ 0.72 радиан десек, өйткені бізде теріс таңба болғандықтан:
x = –0.72 + 2πk
Немесе
x = π + 0.72 + 2πk, k ∈ ℤ
Дәл былай:
x = arcsin((√3 – √19)/4) + 2πk
және
x = π – arcsin((√3 – √19)/4) + 2πk, k ∈ ℤ
Мысал ретінде:
arcsin((√3 – √19)/4) ≈ arcsin(–0.66) ≈ –0.72 радиан. Сонда:
- x ≈ –0.72 + 2πk
- x ≈ π + 0.72 + 2πk (өйткені π – (–0.72) = π + 0.72)
Қорытындылай келе, теңдеудің жалпылама шешімдері:
x = arcsin((√3 – √19)/4) + 2πk
немесе
x = π – arcsin((√3 – √19)/4) + 2πk, k ∈ ℤ
Мұнда дәлдікке байланысты, егер есептеу кезінде дөңгелектеулерді қолдансаңыз,
x ≈ -0.72 + 2πk
немесе
x ≈ 3.86 + 2πk, k ∈ ℤ
Осылайша, берілген теңдеудің тек жарамды шешімі sin x = (√3 – √19)/4 екенін анықтадық.
Итак, нужно решить уравнение
2cos²x + √3·sin x = 0.
Сначала выразим всё через sin x. Заметим, что cos²x можно заменить по тождеству cos²x = 1 – sin²x. Подставляем:
2(1 – sin²x) + √3·sin x = 0
2 – 2sin²x + √3·sin x = 0.
Перенесём все слагаемые в одну часть:
–2sin²x + √3·sin x + 2 = 0
2sin²x – √3·sin x – 2 = 0 (умножили на –1).
Теперь это квадратное уравнение относительно sin x. Обозначим t = sin x, получим:
2t² – √3·t – 2 = 0.
Найдем дискриминант D:
D = (–√3)² – 4·2·(–2) = 3 + 16 = 19.
Отсюда корни:
t = [√3 ± √19] / (4).
Оценивая значения:
t₁ = (√3 + √19)/4 ≈ (1.732 + 4.359)/4 ≈ 6.091/4 ≈ 1.523 — не входит в диапазон sin x ∈ [–1, 1],
t₂ = (√3 – √19)/4 ≈ (1.732 – 4.359)/4 ≈ –2.627/4 ≈ –0.657.
Принимаем лишь второй корень. Таким образом, получаем:
sin x = (√3 – √19)/4.
Рассмотрим общий вид решения уравнения sin x = A. Если A ∈ [–1, 1], то общее решение записывается так:
x = arcsin A + 2πk или x = π – arcsin A + 2πk, где k ∈ ℤ.
Применяя это к нашему случаю, окончательно получаем:
x = arcsin((√3 – √19)/4) + 2πk или x = π – arcsin((√3 – √19)/4) + 2πk, где k ∈ ℤ.
Это и есть полный общий вид решений исходного уравнения.