Трапецияның табандары a және b. Табандарына параллель және ұқсас трапецияларға бөлетін кесіндінің ұзындығын табыңыз.
Трапецияның табандары a және b. Табандарына параллель және ұқсас трапецияларға бөлетін кесіндінің ұзындығын табыңыз.
Рассмотрим трапецию с основаниями длиной a и b (без ограничения общности можно считать, что a > b). Проведём через трапецию отрезок, параллельный ее основаниям, так чтобы полученные две трапеции были подобны исходной.
Обозначим через x длину искомого отрезка. При подобии фигур отношения соответствующих сторон равны, а значит отношение оснований одной из полученных трапеций (например, нижней с основаниями b и x) будет таким же, как отношение оснований другой (верхней с основаниями x и a):
x/b = a/x
Перемножая, получим
x² = a·b
Отсюда
x = √(ab)
Таким образом, длина отрезка, параллельного основаниям и разделяющего трапецию на две подобные части, равна √(ab).
Мысалдың шарты былай: трапецияның табандары a және b болған кезде оның ішінен табандарына параллель кесінді сызып, трапецияны ұқсас (бір-біріне ұқсас геометриялық түрде) екі бөлікке бөлген кезде, осы кесіндінің ұзындығын табу керек.
Келесі түрде ойлайық: трапецияның үстіңгі бөлігінің табаны – a, ал ол бөлікке арналған кесіндік – x. Төменгі бөлікке арналған кесіндік – де x, ал оның табаны – b. Егер осы екі трапеция бір-біріне ұқсас болса, онда олардың сәйкес бөліктерінің қатынастары тең болады. Дәлел ретінде:
• Үстіңгі трапецияда: кіші табан – a, үлкен табан – x.
• Төменгі трапецияда: кіші табан – x, үлкен табан – b.
Осы ұқсастыққа байланысты қатынастар:
a / x = x / b
Бұл теңдеуді өрнектеп, x-тің квадратын табамыз:
x² = a · b
Сонда x = √(a·b).
Осылайша, трапецияны ұқсас етіп бөлетін кесіндінің ұзындығы: √(ab).