Трапецияның табандары 10 және 20 см, бүйір қабырғалары 6 және 8 см. Бүйір қабырғаларының созындылары қандай бұрышпен қиылысады?
Трапецияның табандары 10 және 20 см, бүйір қабырғалары 6 және 8 см. Бүйір қабырғаларының созындылары қандай бұрышпен қиылысады?
Рассмотрим трапецию с нижней основой длиной 20 см, верхней — 10 см, а бүйір қабырғалары 8 см және 6 см деп берілген. Мұндай жағдайда трапецияны координаттар жазықтығында орналастырсақ былай болады:
Орналасуды келесі түрде таңдаңыз: нүкте D — (0, 0), C — (20, 0). Жоғарғы негіздің ұзындығы 10 см болатындай етіп, таңдап, A = (x, h) және B = (x+10, h) деп белгілеңіз. Берілген бүйір қабырғаларының ұзындықтарына сәйкес:
• AD = 6 см, яғни:
√(x² + h²) = 6 ⇒ x² + h² = 36.
• BC = 8 см, яғни:
√((20 - (x+10))² + h²) = 8 ⇒ (10 - x)² + h² = 64.
Екі теңдеуді алып, h²-ларды ығыстырып азайтсақ:
(10 - x)² - x² = 64 - 36 = 28.
(100 - 20x + x²) - x² = 28 ⇒ 100 - 20x = 28,
одан x = 72/20 = 3.6 см, ал h² = 36 - (3.6)² = 36 - 12.96 = 23.04, яғни h = 4.8 см.
Нәтижесінде, нүктелер:
A = (3.6, 4.8), B = (13.6, 4.8), C = (20, 0), D = (0, 0).
Енді трапецияның бүйір қабырғалары – AD және BC – нүктелерді біріктіретін түзу сызықтар. Олар созындылары қиылысатын бұрышты табамыз.
AD сызығы D (0,0) мен A (3.6,4.8) нүктелерінен өтсе. Оның бағыт векторы:
(3.6, 4.8), бұрышы көлденеңінен (Ox осімен) анықталып,
θ₁ = arctan(4.8/3.6) = arctan(4/3) ≈ 53.13°.
BC сызығы B (13.6,4.8) нүктесінен C (20,0) нүктесіне бағытталған, векторы:
(20 - 13.6, 0 - 4.8) = (6.4, -4.8). Оның бұрышы:
θ₂ = arctan(−4.8/6.4) = arctan(−0.75) ≈ −36.87°
(минус таңбасы сызықтың төменге бағытталғанын білдіреді).
Қызмет сызықтар созындыларының қиылысу бұрышы AD сызығының бұрышы (53.13°) мен BC сызығынан шыққан бұрыштың модульді мәндерінің қосындысына тең:
Δθ = 53.13° + 36.87° = 90°.
Яғни, трапецияның бүйір қабырғаларының созындылары перпендикуляр, олар 90° бұрышпен қиылысады.
Сенің сұрауыңды былай түсіндім: трапецияның табандарының ұзындықтары 10 және 20 см, ал бүйір қабырғалары 6 және 8 см берілген. Тапсырма трапецияның бүйір қабырғаларының созындыларының қиылысу бұрышы не екенін анықтауды сұрайды.
Алдымен трапецияның вершиндерін координаттық жазықтыққа орналастырып алайық. Келесідей белгілейміз:
• Екі параллель тарап – табандар: жоғарғысы AB ұзындығы 10 см, төменгісі CD ұзындығы 20 см.
• Бүйір қабырғалары: AD = 6 см және BC = 8 см.
Осы ретпен A, B, C, D нүктелерін орналастырамыз:
A = (0, h), B = (10, h)
D = (x_D, 0), C = (x_C, 0) екен деп есептейміз, мұндағы CD = |x_C – x_D| = 20.
Бүйір қабырғаларының ұзындықтары үшін теңдеулер құрамыз:
Сонымен қатар, x_C – x_D = 20. Әдетте трапецияның пішініне сәйкес, x_D теріс, ал x_C оң деп аламыз.
x_C = 20 + x_D қойып, (2) теңдеудегі (10 – x_C)² бөлігі былай жазылады:
(10 – (20 + x_D))² = ( -10 – x_D )².
Сонда теңдеу келесі түрде:
(x_D + 10)² + h² = 64.
h²-ны (1) теңдеуден алмастырып (h² = 36 – x_D²):
(x_D + 10)² + 36 – x_D² = 64.
Ашсақ:
x_D² + 20x_D + 100 + 36 – x_D² = 64
→ 20x_D + 136 = 64
→ 20x_D = -72
→ x_D = -3.6.
Сонда h² = 36 – (3.6)² = 36 – 12.96 = 23.04, яғни h = 4.8 см.
Ал x_C = 20 + (-3.6) = 16.4 см.
Енді координаттар былай:
A = (0, 4.8), B = (10, 4.8), C = (16.4, 0), D = (-3.6, 0).
Бүйір қабырғалары – AD және BC – мынандай:
● AD – нүктелер A (0, 4.8) мен D (-3.6, 0) арқылы өтеді. Оның еңкіштігі:
m₁ = (0 – 4.8) / (-3.6 – 0) = (-4.8) / (-3.6) = 4/3.
● BC – нүктелер B (10, 4.8) мен C (16.4, 0) арқылы өтеді. Оның еңкіштігі:
m₂ = (0 – 4.8) / (16.4 – 10) = (-4.8) / (6.4) = -3/4.
Қосымша принцип бойынша екі түзу арасындағы бұрышты табу формуласы:
tan(θ) = |(m₁ - m₂) / (1 + m₁·m₂)|.
Алайда мынаны байқаймыз:
m₁ · m₂ = (4/3) · (-3/4) = -1.
Сонда
1 + m₁·m₂ = 1 - 1 = 0,
екі түзу арасындағы бұрыштың тангенсі шексізге ұмтылады, яғни θ = 90°.
Осылайша, трапецияның бүйір қабырғаларының (яғни, олардың созындыларының) қиылысу бұрышы 90 градусқа тең.