Трапецияның биіктігі бір табанынан 3 есе артық, ал екінші табанынан 2 есе кем. Ауданы 168 см² болса, биіктігін табыңыз.
Трапецияның биіктігі бір табанынан 3 есе артық, ал екінші табанынан 2 есе кем. Ауданы 168 см² болса, биіктігін табыңыз.
Давайте переформулируем задачу своими словами: у нас есть трапеция, у которой высота выражается через основания. Высота в три раза больше одного основания и в два раза меньше другого. При этом площадь трапеции равна 168 см². Нужно найти высоту трапеции.
Обозначим через x – одно основание, а через y – другое. По условию задача задаёт соотношения между высотой h и основаниями. Важно правильно понять соотношения:
• Если высота в 3 раза больше одного основания, можно записать: h = 3x, откуда x = h/3.
• Если высота в 2 раза меньше второго основания, значит высота равна половине второго основания: h = (1/2) · y, откуда y = 2h.
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
A = (1/2) · (x + y) · h
Подставляем полученные выражения:
A = (1/2) · (h/3 + 2h) · h
Приведём сумму в скобках к общему знаменателю:
h/3 + 2h = h/3 + 6h/3 = (7h) / 3
Таким образом, площадь равна:
A = (1/2) · (7h/3) · h = (7h²) / 6
При условии, что площадь A = 168 см², получим уравнение:
(7h²)/6 = 168
Чтобы найти h, домножим обе стороны уравнения на 6:
7h² = 168 · 6
7h² = 1008
Делим обе части на 7:
h² = 1008/7
h² = 144
Так как высота положительная, то h = √144 = 12 см.
Ответ: высота трапеции равна 12 см.
Мәселе трапецияның биіктігін табуды сұрайды, дегенмен шартта бір табанға қатысты биіктік 3 есе артық, ал екінші табанға қатысты 2 есе кем делінген. Бұл ақпаратты пайдаланып, трапецияның ауданын табу формуласын қолданып, биіктікті анықтаймыз.
Мәселені мынадай белгілермен қойайық:
• Бірінші табанды a, екінші табанды b деп алайық.
• Биіктік h болса, шартқа сәйкес мынандай қатынастар беріледі:
– h бірінші табанның (a) 3 есе артық, яғни h = 3a, сондықтан a = h/3.
– h екінші табанның (b) 2 есе кем, яғни h = ½b, сондықтан b = 2h.
Трапеция ауданының формуласы:
A = ½ · (a + b) · h.
Мұнда ауданы A = 168 см² деп берілген.
Белгілерді орнына қойсақ:
½ · (h/3 + 2h) · h = 168.
Бірінші қадам – жақшаның ішіндегі қосындыны бірдей бөлгіштерге келтіру:
h/3 + 2h = h/3 + (6h/3) = 7h/3.
Содан соң теңдеу былай өзгереді:
½ · (7h/3) · h = 168 ⇒ 7h²/6 = 168.
Бұл теңдеуді шешейік:
7h²/6 = 168 ⇒ h² = 168 · 6 /7.
168-ді 7-ге бөлсек, 168/7 = 24, сондықтан:
h² = 24 · 6 = 144.
Осыдан h = √144 = 12 см.
Демек, трапецияның биіктігі 12 см екен.