Трапеция табандары $a$ және $b$. Табандарына параллель және диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы өтетін кесінді ұзындығын табыңыз

Математика
1

Трапеция табандары a және b. Табандарына параллель және диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы өтетін кесінді ұзындығын табыңыз.

Трапеция табандары a және b. Табандарына параллель және диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы өтетін кесінді ұзындығын табыңыз.

2

Мәселе – трапецияның негіздері a және b болған жағдайда, трапецияның диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы өтетін, негіздермен параллель кесіндінің ұзындығын табу сұралады.

Есепті шешу үшін трапецияны координаталық жүйеге орналастырайық:
• Негіздер горизонталь болып, төменгі негізді AB деп, оның ұзындығын a деп, ал жоғарғы негізді CD деп, оның ұзындығын b деп белгілейік.
• A = (0, 0), B = (a, 0). Жоғарғы негіздің бір шегі D = (d, h) және екінші шегі C = (d+b, h) деп алайық.
• Диагональдар: AC және BD.

Диагональдардың қиылысу нүктесін табу:
• AC: A(0,0) ден C(d+b, h) қарай, P = (t(d+b), t·h).
• BD: B(a, 0) ден D(d, h) қарай, Q = (a + s(d-a), s·h).
• Екі сызықтың y-кординаталары тең болғандықтан, t = s.
• x-кординаталары бойынша теңдеу: t(d+b) = a + t(d-a) → t[(d+b) – (d-a)] = a → t(a+b) = a → t = a/(a+b).

P нүктесінің координаталары:
P = ( (d+b)·a/(a+b), a·h/(a+b) ).

P нүктесі арқылы, негіздерге параллель кесінді y = a·h/(a+b) бойымен өтеді. Бұл кесінді трапецияның парашық қабырғаларымен қиылысады.

Кесіндің ұзынысын есептеу:

  1. AD қабырғасы A(0,0) мен D(d, h) арасындағы сегмент. Оның бойында y = u·h. y = a·h/(a+b) табу үшін u = a/(a+b). Осы нүктедегі координата: (d·a/(a+b), a·h/(a+b)).
  2. BC қабырғасы B(a, 0) мен C(d+b, h) арасындағы сегмент. Онда нүкте: B + v·((d+b-a), h). y = v·h = a·h/(a+b) → v = a/(a+b). Оның x координатасы: a + a(d+b-a)/(a+b).

Кесіндің ұзындығы екі нүктенің x координаталарының айырмасы:
x = [a + a(d+b-a)/(a+b)] – [d·a/(a+b)]
= a + a[(d+b-a) - d]/(a+b)
= a + a(b - a)/(a+b)
= [a(a+b) + a(b-a)]/(a+b)
= [a(2b)]/(a+b)
= 2ab/(a+b).

Нәтижесінде, трапецияның диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы өтетін және негіздерге параллель кесінді ұзындығы 2ab/(a+b) тең.

Қорытынды: Дұрыс жауап –
\displaystyle \frac{2ab}{a+b}

3

Решаем задачу следующим образом. Нам дан трапеция с основанием длины a (например, AB) и другим основанием длины b (например, DC). В ней проведены диагонали, которые пересекаются в точке O. Через эту точку проведена прямая, параллельная основаниям, и требуется найти её длину (обозначим её за MN).

Чтобы понять, как найти MN, можно ввести координатную систему:

• Пусть A=(0,0) и B=(a,0) – точки на первом основании,
• Пусть D=(0,1) и C=(b,1) – точки на втором основании.

Диагонали AC и BD имеют уравнения:
– AC: (0,0) → (b,1) можно записать в виде (x, y) = (tb, t), где t∈[0,1];
– BD: (a,0) → (0,1) можно записать как (x, y) = (a - as, s), где s∈[0,1].

Найдем точку пересечения O. Приравнивая координаты, получаем:
y: t = s,
x: tb = a - at.
Отсюда:
t·b = a(1-t) ⇒ t(b+a) = a ⇒ t = a/(a+b).

Таким образом, точка O имеет координаты
O = (b·a/(a+b), a/(a+b)).

Построим через O прямую, параллельную основаниям, то есть горизонтальную прямую y = a/(a+b).

Эта прямая пересечёт:
– сторону AD, которая задаётся точками A=(0,0) и D=(0,1). Так как x=0 для AD, то точка пересечения будет M = (0, a/(a+b));
– сторону BC, которая идет от B=(a,0) к C=(b,1). Найдем точку N, где y = a/(a+b). Пусть параметр s такой, что:
N = (a + s(b-a), s),
и y = s = a/(a+b). Тогда x-координата точки N:
x = a + (a/(a+b))·(b-a).

Вычислим x-координату точки N:
x = a + (a(b-a))/(a+b) = (a(a+b) + a(b-a))/(a+b) = (a(2b))/(a+b) = 2ab/(a+b).

Таким образом, точка N имеет координаты
N = (2ab/(a+b), a/(a+b)).

Получаем, что прямая через O параллельная основаниям пересекает стороны AD и BC в точках M и N, а отрезок MN имеет длину, равную разности x-координат точек N и M:
MN = 2ab/(a+b) - 0 = 2ab/(a+b).

Ответ:
Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей и параллельного основаниям, равна 2ab/(a+b).