Трапеция табандары 3 және 1 см, диагональдары 3 және 5 см. Оның ауданын табыңыз.
Трапеция табандары 3 және 1 см, диагональдары 3 және 5 см. Оның ауданын табыңыз.
Задача сводится к нахождению площади трапеции, если известны размеры её оснований и диагоналей. Можно воспользоваться координатным методом.
Пусть вершины трапеции – A, B, C, D, где основание AB = 3 см, а основание CD = 1 см. Примем, что AB лежит на оси x и имеет координаты A(0, 0) и B(3, 0). Поскольку основания параллельны, то пусть D имеет координаты (x, h), а C – (x + 1, h), где h – высота трапеции.
Даны диагонали:
• AC = 3 см, где A(0,0) и C(x+1, h);
• BD = 5 см, где B(3,0) и D(x, h).
Запишем уравнения для диагоналей по теореме Пифагора:
- Для диагонали AC:
√[(x + 1)² + h²] = 3 ⟹ (x + 1)² + h² = 9. - Для диагонали BD:
√[(x - 3)² + h²] = 5 ⟹ (x - 3)² + h² = 25.
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить h²:
(x - 3)² - (x + 1)² = 25 - 9 = 16.
Раскроем скобки:
[x² - 6x + 9] - [x² + 2x + 1] = -8x + 8 = 16.
Решим уравнение для x:
-8x + 8 = 16 ⟹ -8x = 8 ⟹ x = -1.
Подставим x = -1 в уравнение (x + 1)² + h² = 9:
(-1 + 1)² + h² = 0 + h² = 9 ⟹ h² = 9 ⟹ h = 3.
Определив высоту трапеции h = 3 см, воспользуемся формулой площади трапеции:
S = ((a + b) / 2) × h,
где a и b – длины оснований.
Подставим значения:
S = ((3 + 1) / 2) × 3 = (4 / 2) × 3 = 2 × 3 = 6 см².
Таким образом, площадь трапеции равна 6 см².
Мысалды қайтадан түсініп алсақ, бізде трапецияның табандары 3 см және 1 см, ал диагональдары 3 см және 5 см берілген. Мақсат – трапецияның ауданын табу.
Мысалды шешудің ыңғайлы тәсілі – координаттар жүйесінде трапецияны орналастыру:
• А түйінін (0, 0) деп, B түйінін (3, 0) деп аламыз (осылайша табан ұзындығы 3 см болады).
• Екі табан параллель болғандықтан, екінші табанды (y = h) деп орналастырамыз. Осы табан ұзындығы 1 см болу үшін D түйінін ((x, h)) және C түйінін ((x+1, h)) деп аламыз.
Берілген диагональдар:
– (AC = 3) см, (A) нүктесінен (C) нүктесіне дейінгі қашықтық:
[
|(x+1, h) - (0,0)| = \sqrt{(x+1)^2 + h^2} = 3.
]
– (BD = 5) см, (B) нүктесінен (D) нүктесіне дейінгі қашықтық:
[
|(x, h) - (3,0)| = \sqrt{(x-3)^2 + h^2} = 5.
]
Осы екі теңдеуді жазамыз:
(1) ((x+1)^2 + h^2 = 9,)
(2) ((x-3)^2 + h^2 = 25.)
Екі теңдеуден (h^2)-ді алып тастау үшін (2) - (1) амалын қолданайық:
[
(x-3)^2 - (x+1)^2 = 25 - 9 = 16.
]
Екі шеңберді ашайық:
[
(x-3)^2 - (x+1)^2 = [(x-3) - (x+1)],[(x-3)+(x+1)] = (-4)(2x-2) = -8(x-1).
]
Сонда:
[
-8(x-1) = 16 \quad \Rightarrow \quad x-1 = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -1.
]
Енді (1) теңдеуінен (h)-ды табамыз:
[
(-1+1)^2 + h^2 = 0 + h^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad h = 3 , (\text{оң мән}).
]
Трапецияның ауданы мына формула бойынша анықталады:
[
A = \frac{a + b}{2} \times h,
]
мұндағы (a = 3) см, (b = 1) см, ал (h = 3) см.
Осылайша:
[
A = \frac{3+1}{2} \times 3 = \frac{4}{2} \times 3 = 2 \times 3 = 6 \text{ см}^2.
]
Сонымен, трапецияның ауданы 6 см².