Трапеция диагональдары оны төрт үшбұрышқа бөледі. Табандарына тиісті үшбұрыштар аудандары 4 және 9 болса, трапецияның ауданын табыңыз.
Трапеция диагональдары оны төрт үшбұрышқа бөледі. Табандарына тиісті үшбұрыштар аудандары 4 және 9 болса, трапецияның ауданын табыңыз.
Переформулирую: у нас есть трапеция, у которой диагонали делят её на 4 треугольника. Известны площади двух треугольников, прилегающих к основаниям трапеции (назовём их AOB и COD) – 4 и 9 соответственно. Нужно найти площадь всей трапеции.
Рассмотрим следующие соображения. В трапеции отношение оснований равно отношению отрезков диагоналей, то есть, если обозначить пересечение диагоналей точкой O, то
AO/OC = AB/CD.
При этом треугольники AOB и BOC, как и треугольники AOD и COD, имеют общие углы, и их площади относятся как соответствующие отрезки на диагоналях. Пусть:
Так как отношение площадей треугольников, имеющих общую вершину O и прилегающих к основаниям, равно отношению длин отрезков, получаем:
A(AOB) : A(BOC) = AO : OC и A(AOD) : A(COD) = AO : OC.
Обозначим отношение AO:OC = 2:3 (так как √4:√9 = 2:3). Тогда:
если A(AOB) = 4, то A(BOC) = (3/2)·4 = 6,
а если A(COD) = 9, то A(AOD) = (2/3)·9 = 6.
Таким образом, площади всех четырёх треугольников:
4, 6, 6 и 9.
Суммируя их, получаем площадь трапеции:
4 + 6 + 6 + 9 = 25.
Правильный ответ: 25.
Бізге трапеция берілген, оның диагональдары трапецияны төрт үшбұрышқа бөліп тұр. Табандарына (базаларына) тиесілі үшбұрыштардың аудандары 4 пен 9 деп берілген. Осы есепте диагональдардың қасиетіне сүйене отырып, табандарына параллель үшбұрыштардың аудандарының арақатынасын анықтап, қалған үшбұрыштардың аудандарын тауып, соңында барлық аудандарды қосамыз.
Мысалы, трапецияның үлкен және кіші табандарының ұзындықтарының қатынасын AB және CD деп белгілесек (AB – кіші табан, CD – үлкен табан), трапецияның диагональдары кесіндісін қиып өтеді, және олардың қиылысу нүктесінде үшбұрыштардың аудандары табан ұзындықтарының квадраттарына пропорционал болады. Сондықтан:
S(AOB) ∝ AB², ал S(COD) ∝ CD².
Осыдан, егер S(AOB)=4 және S(COD)=9 болса, онда
(AB/CD)² = 4/9 → AB/CD = 2/3.
Диагональдар трапецияны екі түрлі қасиетке ие төрт үшбұрышқа бөледі:
• Табандарға тиесілі үшбұрыштар: S₁ = k·AB² және S₃ = k·CD².
• Жанама үшбұрыштар (қырық бұрышқа тиесілі): S₂ = S₄ = k·(AB·CD).
Осыдан, AB = 2t және CD = 3t деп алсақ:
– S₁ = k·(2t)² = 4k·t² = 4, бұл бойынша k·t² = 1.
– S₃ = k·(3t)² = 9k·t² = 9, бұл да k·t² = 1.
Сонымен, S₂ = S₄ = k·(2t·3t) = 6k·t² = 6.
Енді трапецияның толық ауданы үшбұрыштардың аудандарының қосындысы болады:
A = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ = 4 + 6 + 9 + 6 = 25.
Демек, трапецияның ауданы 25.