Теңсіздікті шешіңіз: $\log_2(x + 3) > 2$

Математика
1

Теңсіздікті шешіңіз: \log_2(x + 3) > 2

Теңсіздікті шешіңіз: \log_2(x + 3) > 2

2

Решаем неравенство: log₂(x + 3) > 2

Первый шаг – перепишем неравенство в экспоненциальном виде. Напомним, что если log₂(a) > 2, то a > 2² = 4. При этом важно помнить, что аргумент логарифма должен быть положительным, то есть условие x + 3 > 0 также должно выполняться (x > -3).

Получаем два условия:

  1. x + 3 > 4 ⟹ x > 1.
  2. x > -3.

Очевидно, что второе условие x > -3 выполняется при любом x, удовлетворяющем первому неравенству (x > 1), так как 1 > -3.

Ответ: x > 1.

3

Берілген теңсіздік:
(\log_2(x+3) > 2)

Алдымен, логарифмнің анықталу аймағын ескеру керек: (x+3 > 0) яғни, (x > -3). Бұл шарт барлық шешімдерге қатысты орындалуы қажет.

Логарифм теңсіздігінің негізгі ережесіне сәйкес, егер (\log_a(y) > b) болса, онда (y > a^b) болады (мұндағы (a>1)). Бізде (a = 2), (y = x+3) және (b = 2). Сондықтан:
(x+3 > 2^2)
(x+3 > 4)

Екі жақтан да 3 шегерсек:
(x > 1)

Берілген анықталу аймағы (x > -3) болғанымен, шешім (x > 1) осы шартты автоматты түрде қанағаттандырады.

Қорытындылай келе, теңсіздіктің жауабы: (x > 1).