Теңсіздікті шешіңіз: $ \log_2(x + 3) > 2 $.
Теңсіздікті шешіңіз: $ \log_2(x + 3) > 2 $.
Задача состоит в решении неравенства: log₂(x + 3) > 2.
Сначала нужно учесть, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть x + 3 > 0, откуда x > -3. Это условие области определения.
Логарифмическая функция с основанием 2 (которое больше 1) возрастает, а значит, неравенство log₂(A) > 2 эквивалентно неравенству A > 2². Подставляя A = x + 3, получим:
x + 3 > 4,
откуда x > 1.
Таким образом, при x > 1 одновременно выполняется и условие действительности логарифма (так как 1 > -3).
Ответ: x > 1.
Сұрақ: “Теңсіздікті шешіңіз: ( \log_2{(x + 3)} > 2 )”. Демек, ( \log_2 )-ның анықталғандығы шарттарын ескере отырып, осы теңсіздікті шешу керек.
Алдымен, логарифмнің анықталу шарты: логарифмнің аргументі (яғни, (x+3)) тек оң сандар үшін анықталған, сондықтан:
( x + 3 > 0 ) ⇒ ( x > -3 ).
Енді берілген теңсіздікті қарастырайық:
( \log_2(x+3) > 2 ).
Логарифм теңсіздіктерін шешкен кезде, егер негіз (2) (ол (1)-ден үлкен, сондықтан функция өсімді) болса, онда теңсіздік аргументке тура ауысады. Яғни, логарифмді теңсіздікке (2) дәрежеге көтеру арқылы қайта жазуға болады:
( x + 3 > 2^2 = 4 ).
Осыдан:
( x > 4 - 3 ),
( x > 1 ).
Алайда, бастапқы анықталу шарты ( x > -3 ) болғанымен, ( x > 1 ) шарты одан да қатаң және ол барлық шарттарды қамтиды.
Осылайша, теңсіздіктің шешімі:
( x > 1 ).