Теңсіздікті шешіңіз: $ \log_2(x + 3) > 2 $
Теңсіздікті шешіңіз: $ \log_2(x + 3) > 2 $
Кіріспе: Тапсырмада $ \log_2(x + 3) > 2 $ теңсіздігін шешу сұралған. Яғни, ішіндегі логарифм шартын қалай өзгерту керектігін анықтаймыз.
Жауап нұсқаларын талдау:
• Алдымен логарифмді анықтаймыз: логарифмнің анықталуы үшін оның аргументі (яғни, $ x + 3 $) тек оң мәнді болуы керек, демек $ x + 3 > 0 $. Бірақ негізгі теңсіздікті шешкен кезде осы шарт автоматты түрде орындалуы тиісті, өйткені шешім анықталуы керек.
• Енді теңсіздікті экспоненциал формаға айналдырамыз. Егер $ \log_2(y) > 2 $ болса, онда $ y > 2^2 = 4 $. Осылайша, ауыстыратын $ y = x + 3 $ болғанда, $ x + 3 > 4 $.
Қағиданы немесе ережені түсіндіру:
• Логарифм теңсіздігі $ \log_b(y) > c $ эквивалентті түрде $ y > b^c $ дегенге айналады, егер $ b > 1 $. Мұндағы негіз $ 2 $, яғни $ 2 > 1 $ және $ c = 2 $ болғандықтан, біз аламыз:
[ x + 3 > 2^2 = 4 ]
• Содан кейін, осы теңсіздіктен, $ x > 4 - 3 = 1 $ деген шешімге келіп, негізгі шарт $ x+3>0 $ автоматты түрде орындалады, себебі $ x > 1 $ болғанда $ x+3 > 4 $ болады.
Қорытынды: Теңсіздіктің шешімі $ x > 1 $. Яғни, барлық $ x $ мәндері 1-ден үлкен болғанда берілген теңсіздік орындалады.
Задача сводится к решению неравенства: log₂(x + 3) > 2.
Сначала важно понять, что под логарифмом должно стоять положительное число. Это означает, что x + 3 > 0, то есть x > -3. Данное условие задаёт область определения функции логарифма.
Далее, преобразуем само неравенство log₂(x + 3) > 2. Так как функция логарифма с основанием 2 возрастает, можно возвести 2 в обе стороны неравенства (это сохраняет знак неравенства). Таким образом:
x + 3 > 2²
x + 3 > 4
Вычтем 3 из обеих частей:
x > 4 - 3
x > 1
Ответ x > 1 удовлетворяет и условию области определения (так как любое x > 1 автоматически больше -3).
Таким образом, окончательное решение неравенства: x > 1.