Теңсіздікті шешіңіз: \log_2(x-1) < 3.
Теңсіздікті шешіңіз: \log_2(x-1) < 3.
Давайте разберём задачу.
Сначала нужно определить область определения логарифма. В выражении (\log_2(x-1)) аргумент логарифма, то есть (x-1), должен быть положительным:
(x - 1 > 0,) отсюда (x > 1.)
Далее, поскольку функция логарифма с основанием (2) монотонно возрастающая, неравенство
(\log_2(x-1) < 3)
эквивалентно неравенству
(x - 1 < 2^3.)
Вычисляем (2^3):
(2^3 = 8.)
Таким образом, получаем:
(x - 1 < 8) ( \Rightarrow \quad x < 9.)
Комбинируя условия, получаем окончательное решение неравенства:
(1 < x < 9.)
Ответ: (x \in (1, 9).)
Мына теңсіздік ( \log_2(x-1) < 3 ) түрінде берілген. Алдымен, логарифмнің анықталу облысын, яғни аргументтің оң болу шарты:
• ( x-1 > 0 ) болғандықтан, ( x > 1 ).
Содан соң, логарифмнің қасиетін пайдаланып теңсіздікті келесі түрде қайта жазамыз:
• ( \log_2(x-1) < 3 ) болса, ( x-1 < 2^3 ) болады, өйткені негіз (2 > 1) және логарифм функциясы өсімді.
Есептеп көрейік:
• ( 2^3 = 8 ), сондықтан ( x-1 < 8 ) немесе ( x < 9 ).
Екі шартты біріктіргенде:
• ( x > 1 ) және ( x < 9 ).
Қорытындылай келе, теңсіздіктің шешімі – ( x \in (1,9) ).