Теңсіздікті шешіңіз: \frac{x^2 - 9}{x - 2} \leq 0.
Теңсіздікті шешіңіз: \frac{x^2 - 9}{x - 2} \leq 0.
Рассмотрим неравенство
(x² – 9)/(x – 2) ≤ 0.
Первым делом заметим, что числитель можно разложить:
x² – 9 = (x – 3)(x + 3).
Также важно помнить, что x ≠ 2, так как при x = 2 знаменатель равен нулю и дробь не определена.
Найдём критические точки:
x = -3 и x = 3 (нулевые числителя) и x = 2 (точка разрыва).
Проведём анализ знака выражения на промежутках, определяемых этими точками.
-
При x < -3, например, x = -4:
(x – 3) = -4 – 3 = -7 (< 0)
(x + 3) = -4 + 3 = -1 (< 0)
Знаменатель: -4 – 2 = -6 (< 0)
Числитель: (-7)·(-1) = 7 (> 0)
Дробь: положительное/отрицательное = отрицательное.
Неравенство выполнено (≤ 0). -
При -3 < x < 2, например, x = 0:
(x – 3) = 0 – 3 = -3 (< 0)
(x + 3) = 0 + 3 = 3 (> 0)
Знаменатель: 0 – 2 = -2 (< 0)
Числитель: (-3)·3 = -9 (< 0)
Дробь: отрицательное/отрицательное = положительное.
Неравенство не выполнено (выражение > 0). -
При 2 < x < 3, например, x = 2.5:
(x – 3) = 2.5 – 3 = -0.5 (< 0)
(x + 3) = 2.5 + 3 = 5.5 (> 0)
Знаменатель: 2.5 – 2 = 0.5 (> 0)
Числитель: (-0.5)·(5.5) = -2.75 (< 0)
Дробь: отрицательное/положительное = отрицательное.
Неравенство выполнено. -
При x > 3, например, x = 4:
(x – 3) = 4 – 3 = 1 (> 0)
(x + 3) = 4 + 3 = 7 (> 0)
Знаменатель: 4 – 2 = 2 (> 0)
Числитель: 1·7 = 7 (> 0)
Дробь: положительное/положительное = положительное.
Неравенство не выполнено.
Также проверим точки, где числитель равен нулю (при x = -3 и x = 3), поскольку неравенство нестрогое (≤):
При x = -3: числитель будет 0, знаменатель = -3 – 2 = -5, дробь равна 0, значит включаем x = -3.
При x = 3: числитель 0, знаменатель = 3 – 2 = 1, дробь равна 0, значит включаем x = 3.
Не забываем, что x = 2 исключается из области допустимых значений.
Ответ: решение неравенства
(-∞, -3] ∪ (2, 3].
Мәселенің өзі:
(\frac{x^2 - 9}{x - 2} \leq 0) теңсіздігін шешу қажет.
Алдымен, бөлшектегі (x^2 - 9) өрнегін көбейтінді түріне келтіреміз:
(\displaystyle x^2 - 9 = (x-3)(x+3)).
Сонда теңсіздік былай жазылады:
(\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{x-2} \leq 0).
Мұнда маңызды нүктелер – бұл нөлге тең болатын және анықталмаған нүктелер:
• Санақ нүктелері: (x-3=0) кезінде (x=3) және (x+3=0) кезінде (x=-3). Бұл кезде бөлшек нөлге тең болады.
• Айырмасы нүктесі: (x-2=0) кезінде (x=2). Бұл мәнде бөлгіш нөлге тең болғандықтан, функция анықталмайды (немесе үзіледі).
Осы нүктелерді санақ сызығында белгілеу арқылы, саныз аймақтар пайда болады:
- ((-\infty, -3))
- ((-3, 2))
- ((2, 3))
- ((3, \infty))
Әр аймақтың белгісін талдайық:
• Аймақ ((-\infty, -3)) үшін, мысалы (x=-4) таңдағанды қарастырайық.
(x=-4) болса,
(x-3 = -4-3 = -7) (теріс),
(x+3 = -4+3 = -1) (теріс),
сондықтан ((x-3)(x+3) = (-7)(-1)=7) (оң).
Ал бөлгіш: (x-2 = -4-2=-6) (теріс).
Осыдан бөлшектің белгісі: оң бөлшектің теріс бөлгішке бөлінуі теріс болады.
Сонымен, (\frac{(x-3)(x+3)}{x-2} < 0). Бұл теңсіздіктің шарты орындалады.
• Аймақ ((-3, 2)) үшін, (x=0) таңдасақ:
(x-3 = -3) (теріс),
(x+3 = 3) (оң), сондықтан көбейтінді: (-9) (теріс).
(x-2 = -2) (теріс).
Бөліктің белгісі: теріс бөлшекті теріс бөлгішке бөлсек, нәтиже оң болады.
Яғни, (\frac{(x-3)(x+3)}{x-2} > 0), шарты сақталмайды.
• Аймақ ((2, 3)) үшін, (x=2.5) алайық:
(x-3 = 2.5-3 = -0.5) (теріс),
(x+3 = 2.5+3 = 5.5) (оң), көбейтінді: (-0.5 \times 5.5 = -2.75) (теріс).
(x-2 = 2.5-2 = 0.5) (оң).
Нәтиже: теріс бөлшек оң бөлгішке бөлінсе, шын мәнінде нәтиже теріс болады.
Сонымен, (\frac{(x-3)(x+3)}{x-2} < 0), шарт орындалады.
• Аймақ ((3, \infty)) үшін, (x=4) алайық:
(x-3 = 1) (оң), (x+3 = 7) (оң) → көбейтінді: (7) (оң).
(x-2 = 2) (оң).
Нәтиже: (\frac{7}{2} > 0) – шарт сақталмайды.
Енді шекаралық нүктелерді қарастырайық:
• (x = -3) және (x = 3) нүктелерінде бөлшектің жоғарғы бөлімі нөлге тең, ал төменгі бөлік нөл емес. Сондықтан осы мәндерде бөлшектің мәні нөлге тең болады, яғни (\leq 0) шарты орындалады.
• (x = 2) нүктесін ескеру керек: мұнда бөлгіш нөлге тең болып, функция анықталмайды, сондықтан (x = 2)-ні шешім жиынынан шығарамыз.
Нәтижесінде теңсіздіктің шарты орындалатын жиын:
• ((-\infty, -3]) және ((2, 3]).
Қорытындылай келе, теңсіздіктің шешімі:
(x \in (-\infty, -3] \cup (2, 3]).