Теңсіздікті шешіңіз: \$ \frac{x^2 - 9}{x - 2} ≤ 0 \$

Математика
1

Теңсіздікті шешіңіз: $ \frac{x^2 - 9}{x - 2} ≤ 0 $

Теңсіздікті шешіңіз: $ \frac{x^2 - 9}{x - 2} ≤ 0 $

2

Сіздің сұрағыңыз:
( \frac{x^2 - 9}{x - 2} ≤ 0 ) теңсіздікті шешу.

Мынадай қадамдар арқылы есептейміз:

• Ең алдымен, санаймыз: ( x^2 - 9 ) өрнегін көбейтіндіге айналдырамыз.
( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) ).

• Сондықтан теңсіздік мына түрде болады:
(\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 2} ≤ 0)
мұндағы (x-2) бөлінгіште, ол 0 бола алмайды → (x \neq 2).

• Енді негізгі нүктелерді табамыз (өлшем нүктелері):

  • Санақ нүктелері (өңдем нүктелері): (x - 3 = 0) → (x = 3) және (x + 3 = 0) → (x = -3).
  • Бөлгіш нүктесі: (x - 2 = 0) → (x = 2) (бұл нүктеде функция анықталмайды).

• Осы нүктелер шеңберінде нақты уақыт нүктелерді белгілеп, сандық сызықты (number line) бөлеміз:
(-∞,\ -3,\ 2,\ 3,\ ∞).

• Әр аймақтағы функцияның таңбасын тексереміз:

  1. Аймақ (x < -3) (мысалы, (x = -4)):
  • (x - 3): (-4 - 3 = -7) (теріс),
  • (x + 3): (-4 + 3 = -1) (теріс),
  • Өнім: теріс × теріс = оң.
  • (x - 2): (-4 - 2 = -6) (теріс).
  • Бөлшек таңбасы: оң ÷ теріс = теріс.
    Нәтижесінде таңба теріс, яғни (≤ 0) шарты орындалады.
  1. Аймақ (-3 < x < 2) (мысалы, (x = 0)):
  • (x - 3): (0 - 3 = -3) (теріс),
  • (x + 3): (0 + 3 = 3) (оң),
  • Өнім: теріс × оң = теріс.
  • (x - 2): (0 - 2 = -2) (теріс).
  • Бөлшек таңбасы: теріс ÷ теріс = оң.
    Нәтижесінде таңба оң, яғни шарт орындалмайды.
  1. Аймақ (2 < x < 3) (мысалы, (x = 2.5)):
  • (x - 3): (2.5 - 3 = -0.5) (теріс),
  • (x + 3): (2.5 + 3 = 5.5) (оң),
  • Өнім: теріс × оң = теріс.
  • (x - 2): (2.5 - 2 = 0.5) (оң).
  • Бөлшек таңбасы: теріс ÷ оң = теріс.
    Осы аймақта шарт орындалады.
  1. Аймақ (x > 3) (мысалы, (x = 4)):
  • (x - 3): (4 - 3 = 1) (оң),
  • (x + 3): (4 + 3 = 7) (оң),
  • Өнім: оң × оң = оң.
  • (x - 2): (4 - 2 = 2) (оң).
  • Бөлшек таңбасы: оң ÷ оң = оң.
    Осы аймақта шарт орындалмайды.

• Сонымен, теңсіздік (\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 2} ≤ 0) орындалатын аймақтар:

  • (x \in (-\infty, -3]) (енді (x = -3) нүктесінде бөлшек 0 тең болады, сондықтан шартқа сай),
  • (x \in (2, 3]) (ескеріңіз, (x = 2) - белгісіз, сондықтан ашық жақпен көрсетіледі).

Қорытынды:
Шешім (x \in (-\infty, -3] \cup (2, 3]).

3

Решить неравенство
(x² – 9)/(x – 2) ≤ 0
означает найти такие x, при которых дробь меньше либо равна нулю, с учётом, что знаменатель не может быть равен нулю.

Сначала разложим числитель:
x² – 9 = (x – 3)(x + 3).

Получаем неравенство:
[(x – 3)(x + 3)]/(x – 2) ≤ 0.

Определим критические точки – те значения x, при которых числитель или знаменатель равны нулю:
x – 3 = 0 → x = 3,
x + 3 = 0 → x = –3,
x – 2 = 0 → x = 2 (точка, где функция не определена).

Теперь разобьём числовую ось на интервалы, используя точки x = –3, x = 2 и x = 3:

  1. Интервал (-∞, –3)
  2. Интервал (-3, 2)
  3. Интервал (2, 3)
  4. Интервал (3, +∞)

Проверим знак выражения на каждом интервале:

  1. Для x < –3, например, возьмём x = –4:
    (x – 3) = –4 – 3 = –7 (отрицательно),
    (x + 3) = –4 + 3 = –1 (отрицательно),
    (x – 2) = –4 – 2 = –6 (отрицательно).
    Произведение в числителе: (–7)·(–1) = 7 (положительно). Дробь = (+)/(–) = отрицательно.
    Получаем: отрицательное значение, удовлетворяет неравенству (так как ≤ 0).

  2. Для –3 < x < 2, например, x = 0:
    (x – 3) = 0 – 3 = –3 (отрицательно),
    (x + 3) = 0 + 3 = 3 (положительно),
    (x – 2) = 0 – 2 = –2 (отрицательно).
    Числитель: (–3)·3 = –9 (отрицательно). Дробь = (–)/(–) = положительно.
    Неверно, так как не удовлетворяет условию ≤ 0.

  3. Для 2 < x < 3, например, x = 2.5:
    (x – 3) = 2.5 – 3 = –0.5 (отрицательно),
    (x + 3) = 2.5 + 3 = 5.5 (положительно),
    (x – 2) = 2.5 – 2 = 0.5 (положительно).
    Числитель: (–0.5)·5.5 = –2.75 (отрицательно). Дробь = (–)/(+) = отрицательно.
    Подходит.

  4. Для x > 3, например, x = 4:
    (x – 3) = 4 – 3 = 1 (положительно),
    (x + 3) = 4 + 3 = 7 (положительно),
    (x – 2) = 4 – 2 = 2 (положительно).
    Дробь = (+)/(+) = положительно.
    Не удовлетворяет.

Проверим поведение на границах:
– При x = –3: числитель равен (–3 – 3)(–3 + 3) = (–6)·(0) = 0, знаменатель: –3 – 2 = –5, дробь = 0. Так как 0 удовлетворяет неравенству (0 ≤ 0), x = –3 входит в решение.
– При x = 3: числитель равен (3 – 3)(3 + 3) = 0, знаменатель: 3 – 2 = 1, дробь = 0. x = 3 удовлетворяет.
– При x = 2: знаменатель равен 0 → функция не определена, поэтому x = 2 исключается.

Ответ: решение неравенства:
x ∈ (-∞, -3] ∪ (2, 3].

Таким образом, область определения и знак дроби показывают, что удовлетворяющими условиям являются все x из (-∞, -3] и (2, 3] (при этом x = 2 не включается, поскольку функция там не определена).