Теңсіздікті шешіңіз: $ \cos 2x ≥ \frac{1}{2} $, $ x ∈ [-π; π] $
Теңсіздікті шешіңіз: $ \cos 2x ≥ \frac{1}{2} $, $ x ∈ [-π; π] $
Давайте разберём, как решить неравенство
cos(2x) ≥ 1/2 при x ∈ [-π; π].
Мы начинаем с того, что рассматриваем выражение cosθ ≥ 1/2, где θ = 2x. Из теории известно, что функция cosθ принимает значения больше или равные 1/2 на интервале
θ ∈ [-π/3 + 2πk, π/3 + 2πk], где k ∈ ℤ.
Подставим θ = 2x:
2x ∈ [-π/3 + 2πk, π/3 + 2πk].
Разделив все неравенство на 2, получим
x ∈ [-π/6 + πk, π/6 + πk], где k ∈ ℤ.
Теперь найдём те интервалы, которые попадают в заданный промежуток x ∈ [-π; π].
-
При k = 0 получаем:
x ∈ [-π/6, π/6].
Этот интервал полностью лежит в [-π, π]. -
При k = 1 получаем:
x ∈ [-π/6 + π, π/6 + π] = [π - π/6, π + π/6] = [5π/6, 7π/6].
Так как 7π/6 > π, нужно взять пересечение с промежутком [-π, π]. Таким образом, часть, удовлетворяющая условию, будет
x ∈ [5π/6, π]. -
При k = -1 получаем:
x ∈ [-π/6 - π, π/6 - π] = [-7π/6, -5π/6].
Поскольку -7π/6 < -π, пересечём с [-π, π]: получаем
x ∈ [-π, -5π/6].
Другие значения k дают промежутки, выходящие за указанный диапазон.
Ответ. Объединяя полученные интервалы, решением неравенства при x ∈ [-π; π] является:
x ∈ [-π, -5π/6] ∪ [-π/6, π/6] ∪ [5π/6, π].
Мысалы, теңсіздік былай:
(\cos 2x ≥ \frac{1}{2}) (x \in [-π; π]).
Енді есептеуді қарастырайық.
Алдымен аргументті қысқарту үшін (t = 2x) деп қойсақ, теңсіздік мына түрде болады:
(\cos t ≥ \frac{1}{2}).
Мұнда (t) шеңберлік функцияның периоды (2π) болғандықтан, теңдеу шешімдерін былай жаза аламыз:
(\cos t ≥ \frac{1}{2}) шарты орындалатын (t) мәндері
(t ∈ [-π/3 + 2πk, π/3 + 2πk]) (мұндағы (k ∈ ℤ)).
Осылайша, бастапқы айнымалы (x) үшін:
(2x ∈ [-π/3 + 2πk, π/3 + 2πk]).
Осыдан:
(x ∈ \left[-\frac{π}{6} + πk,\ \frac{π}{6} + πk\right]).
Алайда (x) шектелген: (x ∈ [-π; π]). Демек, (k) үшін тек қолайлы бүтін сандарды табу керек.
Қарастырайық (k) мүмкін мәндерін:
• (k = 0) болған жағдайда
(x ∈ \left[-\frac{π}{6},\ \frac{π}{6}\right]).
Бірақ мұнда біз тікелей қоданған диапазон – бұл аралық (2x ∈ [-π/3, π/3]). Дегенмен, бұл шешім дұрыс, бірақ біз кейін басқа (k) жағдайларын шығарып алуымыз қажет.
Ол кезде, тағы бір әдіс ретінде (2x) шеңберлік интервалдарды жазып алайық. Біз (2x) үшін шектеулерді есептейміз:
(x ∈ [-π; π] \Rightarrow 2x ∈ [-2π; 2π]).
Енді периодтық шешімдерді қарастырайық:
-
(k = 0):
(2x ∈ \left[-\frac{π}{3},\ \frac{π}{3}\right])
Бұдан:
(x ∈ \left[-\frac{π}{6},\ \frac{π}{6}\right]). -
(k = 1):
(2x ∈ \left[2π - \frac{π}{3},\ 2π + \frac{π}{3}\right] = \left[\frac{5π}{3},\ \frac{7π}{3}\right]).
Алайда (2x) тек ([ -2π, 2π ]) арасында болуы тиіс.
Осы интервалдың (\frac{7π}{3}) шамасы (2π)-дан асатыны анық, сондықтан (2x) интервалы (\left[\frac{5π}{3},\ 2π\right]) деп аламыз.
Демек, (x ∈ \left[\frac{5π}{6}, \ π\right]). -
(k = -1):
(2x ∈ \left[-2π - \frac{π}{3},\ -2π + \frac{π}{3}\right] = \left[-\frac{7π}{3},\ -\frac{5π}{3}\right]).
Енді (-2π) шамасы (-\frac{6π}{3} = -2π) болып табылады, ал (-\frac{7π}{3}) (-2π)-дан кішірек.
Сәйкесінше, (2x) интервалы (\left[-2π, -\frac{5π}{3}\right]) болады.
Осыдан: (x ∈ \left[-π,\ -\frac{5π}{6}\right]).
Қорытындылай келе, (x) шешімдері келесі түрде бөлінеді:
(x ∈ \left[-π,\ -\frac{5π}{6}\right] \cup \left[-\frac{π}{6},\ \frac{π}{6}\right] \cup \left[\frac{5π}{6},\ π\right]).
Негізгі қағида: косинус функциясының мәндері ( \cos \theta ≥ \frac{1}{2}) болғанда, оның аргументі (\theta ∈ \left[-\frac{π}{3} + 2πk,\ \frac{π}{3} + 2πk\right]) болады, мұнда (k) – бүтін сан.
Демек, дұрыс жауап –
(x ∈ \left[-π,\ -\frac{5π}{6}\right] \cup \left[-\frac{π}{6},\ \frac{π}{6}\right] \cup \left[\frac{5π}{6},\ π\right]).