Теңсіздікті шешіңіз: 2^{x+1} + 2^{x-1} < 20.
Теңсіздікті шешіңіз: 2^{x+1} + 2^{x-1} < 20.
Задача просит найти все значения x, для которых выполняется неравенство:
2^(x+1) + 2^(x-1) < 20
Первым делом перепишем обе части, выразив их через 2^x.
Заметим, что 2^(x+1) = 2 · 2^x, а 2^(x-1) = 2^x / 2.
Тогда неравенство примет вид:
2 · 2^x + (2^x) / 2 < 20.
Вынесем общий множитель 2^x:
2^x · (2 + 1/2) < 20.
Посчитаем сумму в скобках:
2 + 1/2 = (4/2) + (1/2) = 5/2.
Таким образом получаем:
(5/2) · 2^x < 20.
Чтобы упростить неравенство, домножим обе части на 2 (это безопасная операция, так как число положительное):
5 · 2^x < 40.
Разделим обе части на 5:
2^x < 8.
Заметим, что 8 можно переписать как 2^3. Неравенство становится:
2^x < 2^3.
При возведении в степень, когда основание (2) больше 1, неравенство сохраняется, и можно перейти к показателям степени:
x < 3.
Таким образом, решением данного неравенства является множество значений x, для которых x меньше 3.
Сенің тапсырмаң:
«2^(x+1) + 2^(x-1) < 20» теңсіздіктің шешімін табу керек.
Алдымен өрнекті жеңілдетеміз:
- 2^(x+1) – бұл 2 · 2^x, ал 2^(x-1) – бұл (1/2) · 2^x.
- Осылайша, өрнекті былай жазуға болады:
2^(x+1) + 2^(x-1) = 2 · 2^x + (1/2) · 2^x = 2^x (2 + 1/2) = 2^x · (5/2).
Енді теңсіздікті қайта жазамыз:
(5/2) · 2^x < 20.
Осы теңсіздікті шешу үшін екі жағынан да (5/2)-ге бөлейік немесе эквивалентті түрде екі жақты 2/5-ке көбейтейік:
2^x < 20 · (2/5) = 40/5 = 8.
2^x < 8 болған соң, логарифмді қолданамыз. Негізі – өспелі функция болғандықтан, логарифм алу тәртібі сақталады:
x < log₂(8).
Біз білеміз, log₂(8) = 3 (себебі 2^3 = 8), сондықтан:
x < 3.
Қорытындылай келе, теңсіздіктің жалпы шешімі:
x ∈ (-∞, 3).
Бұл шешімде барлық қадамдар түсінікті әрі дәлелді көрсетілді. Егер сұрақтарың болса, сұраудан тартынба!