Теңдеудің түбірлерінің қосындысын табыңыз: $ 4^{x} + 4^{1-x} = 5 $
Теңдеудің түбірлерінің қосындысын табыңыз: $ 4^{x} + 4^{1-x} = 5 $
Задача сводится к нахождению суммы корней уравнения
4^x + 4^(1–x) = 5.
Сначала заметим, что можно переписать второе слагаемое следующим образом:
4^(1–x) = 4 · 4^(–x) = 4 / 4^x.
Введём замену: положим y = 4^x. Тогда уравнение принимает вид:
y + 4/y = 5.
Умножим обе части уравнения на y (учитываем, что 4^x > 0, поэтому y ≠ 0):
y^2 + 4 = 5y.
Перепишем его в виде квадратного уравнения:
y^2 – 5y + 4 = 0.
Решим квадратное уравнение:
(y – 1)(y – 4) = 0.
Таким образом, получаем два значения:
y = 1 и y = 4.
Теперь возвращаемся к 4^x = y.
- Если 4^x = 1, то x = 0, так как 4^0 = 1.
- Если 4^x = 4, то x = 1, так как 4^1 = 4.
Оба найденных значения удовлетворяют исходному уравнению. Сумма корней:
0 + 1 = 1.
Итак, сумма корней уравнения равна 1.
Бұл тапсырмада (4^x + 4^{1-x} = 5) теңдеуінің түбірлерінің қосындысын табу сұралған.
Алдымен орындалған қадамдарды айтып өтейін:
• Түсіндіру:
Теңдеудегі екі қосымшаны біршама ыңғайлы етіп жазу үшін, (4^{1-x}) өрнегін қайта жазамыз. Бұл өрнекті былай өзгертуге болады:
[
4^{1-x} = 4 \cdot 4^{-x} = \frac{4}{4^x}
]
Осылайша теңдеу былай көрінеді:
[
4^x + \frac{4}{4^x} = 5.
]
• Айнымалыны алмастыру:
Оңайлату мақсатында (a = 4^x) деп белгілейміз. Сонда (4^{1-x}) өрнегі (\frac{4}{a}) деп жазылады. Осылайша теңдеу былай:
[
a + \frac{4}{a} = 5.
]
• Теңдеуді көбейту:
Барлық өрнектерді (a) көбейтеміз (бұл жағдайда (a>0) болғанын ескереміз):
[
a^2 + 4 = 5a.
]
Бұл теңдеуді қайта жазсақ:
[
a^2 - 5a + 4 = 0.
]
• Теңдеуді шешу:
Квадраттық теңдеуді нақтылау арқылы факторландыруға болады:
[
(a-1)(a-4)=0.
]
Сондықтан (a = 1) немесе (a = 4).
• Түбірлерді табу:
Біз (a = 4^x) едік, сондықтан әр жағдайда:
- Егер (4^x = 1), онда (x = 0), себебі (4^0 = 1).
- Егер (4^x = 4), онда (x = 1), себебі (4^1 = 4).
• Түбірлердің қосындысы:
Енді (x) мәндері (0) және (1) болып шықты, сондықтан қосындысы:
[
0 + 1 = 1.
]
Жауап: теңдеудің түбірлерінің қосындысы – 1.