Теңдеуді шешіңіз: x^5 + x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 5x + 5 = 0
Теңдеуді шешіңіз: x^5 + x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 5x + 5 = 0
Задача сводится к поиску корней многочлена
x⁵ + x⁴ – 6x³ – 6x² + 5x + 5 = 0.
Для решения удобно сначала заметить, что сумма коэффициентов равна 0, то есть
1 + 1 – 6 – 6 + 5 + 5 = 0,
это означает, что x = 1 является корнем уравнения (подстановка x = 1 обнулит многочлен).
Далее мы делим исходный многочлен на (x – 1):
Коэффициенты: 1, 1, –6, –6, 5, 5.
При делении (схематически через схему Горнера) получаем остаток 0, а частное:
x⁴ + 2x³ – 4x² – 10x – 5.
Теперь решаем уравнение
x⁴ + 2x³ – 4x² – 10x – 5 = 0.
Ищем рациональные корни. Заметим, что при x = –1 получаем:
(–1)⁴ + 2(–1)³ – 4(–1)² – 10(–1) – 5 = 1 – 2 – 4 + 10 – 5 = 0.
Таким образом, x = –1 является корнем.
Разделим многочлен на (x + 1):
Коэффициенты: 1, 2, –4, –10, –5.
Применяя схему Горнера с корнем –1, находим, что частное:
x³ + x² – 5x – 5.
Рассмотрим уравнение
x³ + x² – 5x – 5 = 0.
Проверим x = –1:
(–1)³ + (–1)² – 5(–1) – 5 = –1 + 1 + 5 – 5 = 0.
Получаем ещё один корень x = –1, который встречается во второй степени.
Разделим кубический многочлен на (x + 1):
Коэффициенты: 1, 1, –5, –5.
Схемой Горнера получаем частное:
x² – 5.
Уравнение x² – 5 = 0 легко решается:
x² = 5 ⟹ x = √5 или x = –√5.
Собираем все найденные множители. Изначальный многочлен раскладывается так:
(x – 1) · (x + 1)² · (x² – 5) = 0.
Таким образом, корни уравнения:
x = 1,
x = –1 (двойной корень),
x = √5,
x = –√5.
Теңдеуді шешу жолын қарап шығайық:
Бастапқыдан:
( x^5 + x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 5x + 5 = 0 )
Бірінші қадамда мынаны байқаймыз:
Барлық мүшелерді топтастырғанда, коэффициенттердің құрылымы былайша бөлінеді:
[
x^5 + x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 5x + 5 = (x^5 + x^4) - (6x^3 + 6x^2) + (5x + 5)
]
Әр топта ортақ көбейткіштерді айырып аламыз:
[
= x^4(x+1) - 6x^2(x+1) + 5(x+1)
]
Осылайша, ( (x+1) ) ортақ көбейткіш ретінде шығып, теңдеуді келесі түрде жазуға болады:
[
(x+1)(x^4 - 6x^2 + 5) = 0
]
Енді екі бөлшекті қарастырамыз.
-
Бірінші бөлшек:
( x+1=0 )
Мұнда ( x=-1 ) шығады. -
Екінші бөлшек:
( x^4 - 6x^2 + 5 = 0 )
Осы болушікте өрнекті жеңілдету үшін ( y=x^2 ) ауыстыруын қолданамыз:
[
y^2 - 6y + 5 = 0
]
Бұл – квадраттық теңдеу. Шешімін табу үшін дискриминантты қолданамыз:
[
\Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot5 = 36 - 20 = 16
]
[
y = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}
]
Осыдан ( y ) үшін екі шешім аламыз:
- ( y = \frac{6+4}{2} = 5 )
- ( y = \frac{6-4}{2} = 1 )
Есепке алып, ( y=x^2 ) болғандықтан:
- Егер ( x^2 = 5 ) болса, онда ( x = \sqrt{5} ) немесе ( x = -\sqrt{5} ).
- Егер ( x^2 = 1 ) болса, онда ( x = 1 ) немесе ( x = -1 ).
Бірақ ( x=-1 ) шешімі бірінші бөлшектен де шыққанын ескереміз. Демек, ( x=-1 ) екі рет қайталанады, яғни оның краттығы (көбейтіндідегі дәрежесі) 2-ге тең.
Осылайша, барлық шешімдер:
( x = -1 ) (екі еселенген шешім), ( x = 1 ), ( x = \sqrt{5} ), ( x = -\sqrt{5} ).
Негізгі қолданылған қағидалар:
• Ортақ көбейткішті анықтау арқылы көпмүшені топтастыру
• ( y = x^2 ) ауыстыру әдісімен төртінші дәрежелі теңдеуді квадраттық теңдеу түрінде қарастыру
• Квадраттық теңдеудің дискриминантын қолдану.
Демек, теңдеудің толық шешімдері:
( { -1, -1, 1, \sqrt{5}, -\sqrt{5} } ).