Теңдеуді шешіңіз: x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = 0
Теңдеуді шешіңіз: x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = 0
Разберём уравнение
[
x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = 0
]
по шагам.
Сначала проверим, есть ли простые корни. Подставим (x = 1):
[
1 - 1 - 2 + 2 - 3 + 3 = 0.
]
Условие выполняется, значит (x=1) — корень уравнения.
Теперь вынесем множитель ((x-1)). Проведём деление многочлена на ((x-1)):
Исходные коэффициенты: (1,;-1,;-2,;2,;-3,;3). Применяя схему Горнера, получим:
- Опускаем первый коэффициент (1).
- Умножаем (1 \cdot 1 = 1) и складываем со вторым коэффициентом: (-1 + 1 = 0).
- Умножаем (0 \cdot 1 = 0) и складываем с третьим коэффициентом: (-2 + 0 = -2).
- Умножаем (-2 \cdot 1 = -2) и складываем с четвёртым коэффициентом: (2 + (-2) = 0).
- Умножаем (0 \cdot 1 = 0) и складываем с пятым коэффициентом: (-3 + 0 = -3).
- Умножаем (-3 \cdot 1 = -3) и складываем с шестым коэффициентом: (3 + (-3) = 0).
Таким образом, остаток равен нулю, а частное имеет вид:
[
x^4 - 2x^2 - 3.
]
Уравнение принимает вид:
[
(x-1)(x^4 - 2x^2 - 3) = 0.
]
Далее решим уравнение
[
x^4 - 2x^2 - 3 = 0.
]
Заметим, что это уравнение можно свести к квадратному отношению, если положить (u = x^2). Тогда получим:
[
u^2 - 2u - 3 = 0.
]
Найдём корни этого квадратного уравнения. Дискриминант:
[
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
]
Тогда
[
u = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}.
]
Таким образом:
- (u = \frac{2 + 4}{2} = 3).
- (u = \frac{2 - 4}{2} = -1).
Вернёмся к переменной (x):
- Если (u = 3), то (x^2 = 3), откуда (x = \sqrt{3}) или (x = -\sqrt{3}).
- Если (u = -1), то (x^2 = -1), откуда (x = i) или (x = -i).
Таким образом, получаем пять корней исходного уравнения:
[
x = 1, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3}, \quad x = i, \quad x = -i.
]
Мәселе: x⁵ - x⁴ - 2x³ + 2x² - 3x + 3 = 0 теңдеуінің түбірлерін табу қажет.
Алдымен көпмүшені топтастыру арқылы факторизация жасаймыз. Көреміз:
x⁵ - x⁴ - 2x³ + 2x² - 3x + 3
Бөлшектеп тобына бөлуге болады:
• x⁵ - x⁴ = x⁴·(x - 1)
• -2x³ + 2x² = -2x²·(x - 1)
• -3x + 3 = -3·(x - 1)
Барлық топтаушыларда (x - 1) ортақ көбейтіндісі шығады, яғни:
(x - 1)·(x⁴ - 2x² - 3) = 0
Осыдан x = 1 деген түбірді аламыз.
Қалған көпмүшені тереңдетеміз:
x⁴ - 2x² - 3
Бұл өрнекті x²-нің квадраты ретінде қарастырып, жаңа айнымалы A = x² деп белгілейік, сонда:
A² - 2A - 3 = 0
Бұл квадраттық теңдеуді дискриминант арқылы шығаруға болады:
Δ = (‑2)² − 4·1·(‑3) = 4 + 12 = 16
A = [2 ± √16] / 2 = [2 ± 4] / 2
Нәтижесінде:
A = (2 + 4)/2 = 3 немесе A = (2 - 4)/2 = -1
Есепте қайтадан x² орнына қою арқылы:
• x² = 3 ⇒ x = √3 және x = -√3
• x² = -1 ⇒ x² + 1 = 0, яғни x = i және x = -i (комплекс түбірлер)
Осылайша жалпы факторизация былай көрінеді:
(x - 1)(x² - 3)(x² + 1) = 0
Демек, теңдеудің түбірлері:
x = 1, x = √3, x = -√3, x = i, x = -i
Нақты шешім: Теңдеу берілген жағдайда нақты сандар ішінде x = 1, x = √3, және x = -√3 түбірлері шығады, ал қалғандары комплекс түбірлер болып табылады.