Теңдеуді шешіңіз: $ x^2 - 4|x| - 5 = 0 $.
Теңдеуді шешіңіз: $ x^2 - 4|x| - 5 = 0 $.
Осы сұрақта ( x^2 - 4|x| - 5 = 0 ) теңдеуін шешу керек екен. Бұл теңдеуде модуль ( |x| ) белгісі болғандықтан, екі жағдайды қарастырамыз: ( x \ge 0 ) және ( x < 0 ).
-
Алдымен, ( x \ge 0 ) жағдайын қарастырайық. Бұл жағдайда ( |x| = x ) болады. Сондықтан теңдеу:
[
x^2 - 4x - 5 = 0
]
Дискриминантты табайық: ( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 ). Енді түбірлерін шығарамыз:
[
x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}
]
Осыдан:
• ( x = \frac{4+6}{2} = 5 )
• ( x = \frac{4-6}{2} = -1 )
Алайда, ( x \ge 0 ) деген шарт бойынша ( x=-1 ) жарамсыз, сондықтан дұрыс шешімі – ( x = 5 ). -
Енді, ( x < 0 ) жағдайын қарастырайық. Бұл жағдайда ( |x| = -x ) болады, сондықтан теңдеу былай болады:
[
x^2 - 4(-x) - 5 = x^2 + 4x - 5 = 0
]
Дискриминантты табайық: ( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 ). Түбірлерін шығарамыз:
[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2}
]
Осыдан:
• ( x = \frac{-4+6}{2} = 1 )
• ( x = \frac{-4-6}{2} = -5 )
( x < 0 ) шартына сәйкес тек ( x = -5 ) шешімі жарамды, себебі ( x = 1 ) таңдалған шартқа сай келмейді.
Сондықтан екі жағдайда да жарамды шешімдер: ( x = 5 ) және ( x = -5 ).
Қорытындылай келе, теңдеудің шешімдері – ( x = 5 ) және ( x = -5 ).
Рассмотрим уравнение:
x² – 4|x| – 5 = 0.
Обозначим |x| через новую переменную u, при этом u ≥ 0. Получим уравнение:
u² – 4u – 5 = 0.
Найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого вычислим дискриминант:
D = (–4)² – 4·1·(–5) = 16 + 20 = 36.
Далее находим корни:
u = [4 ± √36] / 2 = [4 ± 6] / 2.
Получаем два значения:
u₁ = (4 + 6)/2 = 5,
u₂ = (4 – 6)/2 = –1.
Так как u = |x| и он не может быть отрицательным, отбрасываем u₂ = –1.
Остается:
|x| = 5.
Отсюда x может равняться 5 или –5.
Проверим, подставляя обратно в исходное уравнение:
Для x = 5: 5² – 4·5 – 5 = 25 – 20 – 5 = 0,
Для x = –5: (–5)² – 4·5 – 5 = 25 – 20 – 5 = 0.
Оба значения удовлетворяют уравнению.
Таким образом, правильное решение уравнения:
x = 5 и x = –5.