Теңдеуді шешіңіз: x^2 - 4|x| - 5 = 0
Теңдеуді шешіңіз: x^2 - 4|x| - 5 = 0
В заданном выражении x² - 4|x| - 5 = 0 надо найти все значения x, удовлетворяющие равенству.
Для начала заменим |x| на новую переменную t, где t = |x| и t ≥ 0. Тогда уравнение примет вид:
t² - 4t - 5 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение. Находим дискриминант:
D = (-4)² - 4·1·(-5) = 16 + 20 = 36
Корни уравнения находятся по формуле:
t = (4 ± √36) / 2 = (4 ± 6) / 2
Получаем два значения:
t₁ = (4 + 6) / 2 = 5
t₂ = (4 - 6) / 2 = -1
Так как t представляет абсолютное значение и должно быть неотрицательным, значение t₂ = -1 исключаем.
Остается единственный допустимый корень:
|x| = 5
Это даёт два решения исходного уравнения:
x = 5 и x = -5
Ответ: x = 5 и x = -5.
Сізден x^2 - 4|x| - 5 = 0 теңдеуін шешу сұралған. Бұл есепте абсолюттік белгі мен квадраттық өрнек бар.
Алдымен, теңдеуді ыңғайлырақ шешу үшін келесі алмастыруды қолданамыз:
y = |x|.
Ендеше теңдеу былай болады:
$$y^2 - 4y - 5 = 0.$$
1. Квадраттық теңдеуді шешу:
Теңдеуді мына формула бойынша шешеміз:
$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$
мұндағы (a = 1), (b = -4), (c = -5).
Алдымен дискриминантты табамыз:
$$\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = 16 + 20 = 36.$$
Содан соң:
$$y = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}.$$
Мүмкін болатын шешімдер:
- (y = \frac{4 + 6}{2} = 5),
- (y = \frac{4 - 6}{2} = -1).
2. Жарамдылық шартын тексеру:
Алайда, (y = |x|) болғандықтан, (y) теріс мән ала алмайды, сондықтан (y = -1) шешімі жарамсыз. Қалған (y = 5) шешімі бойынша:
$$|x| = 5.$$
Бұл жағдайда:
x оң немесе теріс болуы мүмкін, себебі абсолюттік мәні 5 болуы керек. Сондықтан:
(x = 5) немесе (x = -5).
Қорытынды:
Теңдеудің түбірлері: (x = 5) және (x = -5).
Бұл нәтиже есепті толық және дұрыс шешкендіктен, оқушылардың сұрағы туындаса, олар әрбір қадамның түсінікті болғанына сенімді бола алады.