Теңдеуді шешіңіз: \$ \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \$, \$ x ∈ [0; 2π] \$

Математика
1

Теңдеуді шешіңіз: $ \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ x ∈ [0; 2π] $

Теңдеуді шешіңіз: $ \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ x ∈ [0; 2π] $

2

Рассмотрим уравнение sin 3x = √3/2 с условием x ∈ [0; 2π]. Нам нужно найти все x из этого промежутка, удовлетворяющие данному равенству.

Сначала введём замену: положим t = 3x. Тогда уравнение примет вид:
sin t = √3/2.

Из тригонометрии знаем, что sin t = √3/2, когда
t = π/3 + 2πk или t = 2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.

То есть общее решение для t:
t = π/3 + 2πk и t = 2π/3 + 2πk.

Теперь вернёмся к x, помня что t = 3x. Тогда получаем два ряда решений:

  1. 3x = π/3 + 2πk
    → x = π/9 + 2πk/3;

  2. 3x = 2π/3 + 2πk
    → x = 2π/9 + 2πk/3.

Найдем такие целые значения k, при которых x попадает в промежуток [0; 2π].

Для первого ряда: x = π/9 + 2πk/3.

  • При k = 0: x = π/9.
    Поскольку π/9 > 0, решение подходит.
  • При k = 1: x = π/9 + 2π/3 = (π + 6π)/9 = 7π/9, также подходит, т.к. 7π/9 < 2π.
  • При k = 2: x = π/9 + 4π/3 = (π + 12π)/9 = 13π/9, и 13π/9 < 2π, тоже подходит.
  • При k = 3: x = π/9 + 2π = (π + 18π)/9 = 19π/9, но 19π/9 > 2π, поэтому не подходит.

Для второго ряда: x = 2π/9 + 2πk/3.

  • При k = 0: x = 2π/9, подходит.
  • При k = 1: x = 2π/9 + 2π/3 = (2π + 6π)/9 = 8π/9, подходит.
  • При k = 2: x = 2π/9 + 4π/3 = (2π + 12π)/9 = 14π/9, подходит.
  • При k = 3: x = 2π/9 + 2π = (2π + 18π)/9 = 20π/9, но 20π/9 > 2π, не включаем.

Таким образом, найденные решения:

  • Из первого ряда: x = π/9, 7π/9, 13π/9.
  • Из второго ряда: x = 2π/9, 8π/9, 14π/9.

Порядок возрастания: π/9, 2π/9, 7π/9, 8π/9, 13π/9, 14π/9.

Таким образом, окончательный ответ:
x = π/9, 2π/9, 7π/9, 8π/9, 13π/9, 14π/9, где x ∈ [0; 2π].

3

Мәселе: x ∈ [0; 2π] интервалы үшін теңдеу: sin(3x) = √3/2.

Бізге sin аргументті «3x» тең болады деп, яғни:
3x = π/3 + 2πk немесе 3x = 2π/3 + 2πk, мұндағы k – кез келген бүтін сан.

Сонымен, x-ті табайық:

• Бірінші жағдай: 3x = π/3 + 2πk
x = π/9 + (2π/3)k

• Екінші жағдай: 3x = 2π/3 + 2πk
x = 2π/9 + (2π/3)k

Енді, x ∈ [0; 2π] болған жағдайда k мәндерін табамыз:

  1. x = π/9 + (2π/3)k
    – k = 0: x = π/9
    – k = 1: x = π/9 + 2π/3 = (π + 6π)/9 = 7π/9
    – k = 2: x = π/9 + 4π/3 = (π + 12π)/9 = 13π/9
    – k = 3: x = π/9 + 2π = (π + 18π)/9 = 19π/9, ал 19π/9 > 2π, сондықтан қабылданбайды.

  2. x = 2π/9 + (2π/3)k
    – k = 0: x = 2π/9
    – k = 1: x = 2π/9 + 2π/3 = (2π + 6π)/9 = 8π/9
    – k = 2: x = 2π/9 + 4π/3 = (2π + 12π)/9 = 14π/9
    – k = 3: x = 2π/9 + 2π = (2π + 18π)/9 = 20π/9, ол 2π-ден асатыны анық.

Сонымен, x-тің [0; 2π] аралығында қабылданатын шешімдері:
x = π/9, 2π/9, 7π/9, 8π/9, 13π/9, 14π/9.