Теңдеуді шешіңіз: $ \log_5(x + 1) + \log_5(x - 1) = \log_5 8 $
Теңдеуді шешіңіз: $ \log_5(x + 1) + \log_5(x - 1) = \log_5 8 $
В задаче нужно найти x, удовлетворяющее уравнению логарифмов:
log₅(x + 1) + log₅(x – 1) = log₅8
Начнём решение с использования свойства логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения, то есть
log₅(x + 1) + log₅(x – 1) = log₅[(x + 1)(x – 1)].
Тогда получаем уравнение
log₅[(x + 1)(x – 1)] = log₅8.
При условии, что основания логарифмов совпадают и аргументы положительны, можно приравнять аргументы:
(x + 1)(x – 1) = 8.
Раскроем скобки:
x² – 1 = 8
x² = 9
x = ±3.
Однако важно не забыть, что у логарифмических выражений должны быть положительные аргументы. Для log₅(x + 1) и log₅(x – 1) необходимо, чтобы
x + 1 > 0 → x > –1
x – 1 > 0 → x > 1.
Таким образом, из этих условий x должно быть больше 1. Значит, x = –3 не удовлетворяет, так как –3 < 1.
Ответ: x = 3.
Берілген теңдеу:
log₅(x + 1) + log₅(x - 1) = log₅ 8
Алдымен теңдеудің сол жағындағы логарифмдерді қосу ережесін қолданамыз: егер log₅ A + log₅ B болса, онда ол log₅(AB) жазылады. Яғни, теңдеу былай жазылады:
log₅[(x + 1)(x - 1)] = log₅ 8
Логарифм функциясының бір қасиеті бойынша, log₅ A = log₅ B болғанда A = B (бірақ мұнда A>0, B>0 екендігіне назар аудару керек). Сондықтан:
(x + 1)(x - 1) = 8
Бұл көбейтінді разложения формуласын қолдануға мүмкіндік береді: (x + 1)(x - 1) = x² - 1. Осылайша:
x² - 1 = 8
x² = 9
x = ±3
Дегенмен, логарифмнің анықтамалық шарты бойынша оның ішіндегі өрнек (арифметикалық тармақ) тек оң мәндерді қабылдайды. Бізде:
x + 1 > 0 → x > -1
x - 1 > 0 → x > 1
Осылайша, тек x > 1 шарты орындалуы керек. x = -3 шарты бұзылады, сондықтан жалғыз жарамды шешім - x = 3.
Қорытындылай келе, теңдеудің шешімі: x = 3.