Теңдеуді шешіңіз: \log_3(x + 1) + \log_3(x - 1) = 1.
Теңдеуді шешіңіз: \log_3(x + 1) + \log_3(x - 1) = 1.
Рассмотрим уравнение:
log₃(x + 1) + log₃(x – 1) = 1
Можно воспользоваться свойством логарифмов: logₐB + logₐC = logₐ(BC). Применив это свойство, получим:
log₃[(x + 1)(x – 1)] = 1
Умножение в скобках даёт разность квадратов:
log₃(x² – 1) = 1
Запишем данное уравнение в экспоненциальной форме:
x² – 1 = 3¹ = 3
Теперь решим уравнение:
x² – 1 = 3 ⟹ x² = 4 ⟹ x = ±2
Однако в логарифмах обязательно должны быть положительные аргументы. Проверим ограничения:
Для log₃(x + 1): x + 1 > 0 ⟹ x > -1
Для log₃(x – 1): x – 1 > 0 ⟹ x > 1
Таким образом, x должно быть больше 1, и единственным решением является x = 2.
Мысал сұрақ: (\log_3(x + 1) + \log_3(x - 1) = 1) теңдеуін шешу қажет.
Алдымен логарифмдердің қосындысын көбейтінді логарифміне айналдыру формуласы қолданылады:
[
\log_b M + \log_b N = \log_b(M \cdot N),
]
сіздің жағдайда (b = 3). Демек, теңдеу былай жазылады:
[
\log_3\bigl((x+1)(x-1)\bigr) = 1.
]
Көбейткен жағдайда ((x+1)(x-1) = x^2 - 1) болады, сондықтан теңдеу:
[
\log_3(x^2 - 1) = 1.
]
Логарифм теңдеуінің анықтамасына сәйкес,
[
\log_3(x^2 - 1) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - 1 = 3^1 = 3.
]
Осыдан:
[
x^2 = 3 + 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm2.
]
Алайда логарифмнің аргументі оң сан болуы тиіс. Шарт бойынша:
- (x+1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1),
- (x-1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1).
Екі шарттан да жауабы (x > 1) болады, яғни (x) тек оң мәндер болуы керек. Сондықтан шешім ретінде (x = 2) ғана қолайлы, ал (x = -2) жарамсыз.
Жауап: (x = 2).