Теңдеуді шешіңіз комплекс сандарда: $ z^2 + 4z + 5 = 0 $
Теңдеуді шешіңіз комплекс сандарда: $ z^2 + 4z + 5 = 0 $
Берілген теңдеу – квадраттық теңдеу:
z² + 4z + 5 = 0.
Мұнда шешім табу үшін стандартты квадраттық формуланы қолданамыз:
z = [–b ± √(b² – 4ac)] / (2a).
Осы теңдеуде a = 1, b = 4, ал c = 5 болады. Енді дискриминантты есептейміз:
b² – 4ac = 4² – 4·1·5 = 16 – 20 = –4.
Дискриминант теріс болғандықтан, шешімдер комплекс сандар болып табылады. Теріс санның шаршы түбірі былай табылады:
√(–4) = 2i, мұндағы i – комплекс бірлік, яғни i² = –1.
Енді жоғарыдағы формуланы қолданып, шешімді табамыз:
z = [–4 ± 2i] / 2
= –2 ± i.
Осылайша, теңдеудің комплекс шешімдері:
z = –2 + i және z = –2 – i.
Разберём уравнение: z² + 4z + 5 = 0.
Находим дискриминант по формуле D = b² - 4ac. Здесь a = 1, b = 4, c = 5. Получаем:
D = 4² - 4·1·5 = 16 - 20 = -4.
Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня. Запишем квадратный корень из дискриминанта:
√(-4) = 2i.
Теперь подставляем в формулу корней:
z = (-b ± √D) / (2a) = (-4 ± 2i) / 2 = -2 ± i.
Таким образом, ответ: z = -2 + i и z = -2 - i.