Теңдеуді шешіңіз: \$ \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{2x + 4}{x + 2} \$

Математика
1

Теңдеуді шешіңіз: $ \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{2x + 4}{x + 2} $

Теңдеуді шешіңіз: $ \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{2x + 4}{x + 2} $

2

Бұл теңдеуде бөлшектер теңестірілген, сондықтан алдымен бөлгіштер нөлге тең болмау шарттарын (x ≠ 3 және x ≠ -2) ескеру керек.

Енді теңдеуді шешу жолын қарастырайық:

  1. Бастапқы теңдеу:
    (\frac{x + 1}{x - 3} = \frac{2x + 4}{x + 2})

  2. Екі бөлшектің тең екендігінен кросс-көбейту әдісін қолданамыз:
    ((x + 1)(x + 2) = (2x + 4)(x - 3))

  3. Әр жақты көбейтеміз:
    • Сол жақ:
    ((x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2)
    • Оң жақ:
    ((2x + 4)(x - 3) = 2x(x - 3) + 4(x - 3) = 2x^2 - 6x + 4x - 12 = 2x^2 - 2x - 12)

  4. Теңдеуді қайта жазамыз:
    (x^2 + 3x + 2 = 2x^2 - 2x - 12)

  5. Барлық мүшелерді бір жаққа жинаймыз:
    (0 = 2x^2 - 2x - 12 - x^2 - 3x - 2)
    (0 = x^2 - 5x - 14)

  6. Шешу үшін дискриминантты табамыз:
    (D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81)
    Екі түбір бар:
    (x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2})

Бұдан:
(x_1 = \frac{5 + 9}{2} = 7)
(x_2 = \frac{5 - 9}{2} = -2)

  1. x=-2 мәнін тексергенде, ол (x+2=0) болғандықтан бөлгішті нөлге тең қылады. Сондықтан x=-2 жарамсыз.

Қорытынды: Теңдеудің жалғыз дұрыс шешімі x = 7.

3

Задача требует решения уравнения:

(x + 1) / (x - 3) = (2x + 4) / (x + 2)

Начинаем с того, что нужно перемножить крест-накрест (крестовое умножение), чтобы избавиться от дробей. Получаем уравнение:

(x + 1)(x + 2) = (2x + 4)(x - 3)

Раскроем скобки:

Левая часть: (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2
Правая часть: (2x + 4)(x - 3) = 2x² - 6x + 4x - 12 = 2x² - 2x - 12

Переносим все слагаемые в одну сторону:

2x² - 2x - 12 - (x² + 3x + 2) = 0
2x² - 2x - 12 - x² - 3x - 2 = 0
x² - 5x - 14 = 0

Получили квадратное уравнение:
x² - 5x - 14 = 0

Найдём корни через дискриминант. Вычисляем дискриминант:

D = (-5)² - 4 * 1 * (-14) = 25 + 56 = 81

Так как D = 81, то его квадратный корень равен 9. Тогда:

x = [5 ± 9] / 2

Найдем два кандидата:

x = (5 + 9) / 2 = 14/2 = 7
x = (5 - 9) / 2 = (-4)/2 = -2

Перед тем как записать окончательные решения, проверим области допустимости исходного уравнения. В выражении есть знаменатели (x - 3) и (x + 2). Они не должны равняться нулю:

x - 3 ≠ 0 → x ≠ 3
x + 2 ≠ 0 → x ≠ -2

Таким образом, значение x = -2 недопустимо, так как оно нарушает условие (деление на ноль).

Остается единственное решение:

x = 7

Ответ: x = 7.