Теңдеуді шешіңіз: \cos x + \frac{1}{2} = 0
Теңдеуді шешіңіз: \cos x + \frac{1}{2} = 0
Решим уравнение:
cos x + ½ = 0
Сначала перенесем ½ в правую часть:
cos x = -½
Нам нужно найти все такие x, при которых косинус равен -½. Из тригонометрии знаем, что cos x = -½ для следующих углов в интервале [0, 2π):
x₁ = 2π/3 и x₂ = 4π/3
Так как функция косинуса периодична с периодом 2π, общее решение записывается в виде:
x = 2π/3 + 2πk или x = 4π/3 + 2πk, где k ∈ ℤ
Таким образом, все решения уравнения записываются как:
x = 2π/3 + 2πk или x = 4π/3 + 2πk, где k – любое целое число.
Сізге берілген теңдеу: (\cos x + \frac{1}{2} = 0). Яғни, (\cos x = -\frac{1}{2}).
Бұл теңдеу консейнс қисық бойында (\cos x) функциясы -1/2 тең болатын бұрыштарды іздеуді талап етеді. Егер бір шеңберді қарасақ, (\cos x) мәні -1/2 болатын бұрыштар (2\pi/3) және (4\pi/3) болып табылады.
Алайда, тригонометриялық функциялардың периодты қасиетін ескере отырып, барлық шешімдерді табу үшін:
[
x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{немесе} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad \text{мұнда } k \text{ – кез келген бүтін сан.}
]
Яғни, негізгі шешімдер (2\pi/3) және (4\pi/3) болғандықтан, бұл шешімдерге (2\pi) периодын қосамыз.
Осылайша, теңдеудің жалпы шешімі:
[
\boxed{x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{немесе} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.}
]