Теңдеуді шешіңіз: 3^{x+1} - 3^{x-1} = 24.
Теңдеуді шешіңіз: 3^{x+1} - 3^{x-1} = 24.
Давайте разберём уравнение по шагам.
Сначала заметим, что выражения (3^{x+1}) и (3^{x-1}) можно представить в виде (3^{x+1} = 3 \cdot 3^x) и (3^{x-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^x). Теперь у нас получается:
(3 \cdot 3^x - \frac{1}{3} \cdot 3^x = 24).
Вынесем общий множитель (3^x):
(3^x \left(3 - \frac{1}{3}\right) = 24).
Определим, чему равна скобка:
(3 - \frac{1}{3} = \frac{9-1}{3} = \frac{8}{3}).
Таким образом, уравнение становится:
(3^x \cdot \frac{8}{3} = 24).
Чтобы изолировать (3^x), умножим обе части уравнения на (\frac{3}{8}):
(3^x = 24 \cdot \frac{3}{8}).
Вычислим правую часть:
(24 \cdot \frac{3}{8} = \frac{72}{8} = 9).
Таким образом, получили:
(3^x = 9).
Учитывая, что (9 = 3^2), получаем:
(x = 2).
Ответ: (x=2).
Теңдеу: 3^(x+1) - 3^(x-1) = 24 екенін қарастырайық.
Алдымен 3^(x+1) мен 3^(x-1) өрнектерін былай жазайық:
3^(x+1) = 3^x · 3¹ = 3 · 3^x
3^(x-1) = 3^x · 3^(–1) = 3^x / 3
Осыны теңдеуге қойсақ:
3 · 3^x - (1/3) · 3^x = 24
3^x ортақ көпжақты болып табылатынын байқаймыз, оны шығарып алсақ:
3^x · (3 - 1/3) = 24
Көбейтілетін жақты есептейміз:
3 - 1/3 = (9/3 - 1/3) = 8/3
Сәйкесінше теңдеу былай болады:
3^x · (8/3) = 24
Екі жағын 8/3-ке көбейткішінің кері саны 3/8-ге көбейтеміз:
3^x = 24 · (3/8) = (72/8) = 9
Енді 3^x = 9 теңдеуінде 9 санын 3-тің дәрежесі түрінде жазамыз:
9 = 3²
Сонда:
3^x = 3²
Үш негіз бірдей болғандықтан, дәрежелер тең болуы керек:
x = 2
Жауап: x = 2.