Теңдеуді шешіңіз: 2\sin x + \sqrt{3} = 0 [0; 2π] аралығында.
Теңдеуді шешіңіз: 2\sin x + \sqrt{3} = 0 [0; 2π] аралығында.
Решим данное уравнение пошагово.
Исходное уравнение:
2sin x + √3 = 0
Отсюда, выделив синус:
2sin x = -√3 ⇒ sin x = -√3/2
Нам нужно найти решения уравнения sin x = -√3/2 на интервале [0; 2π].
Напомним, что sin x = √3/2 при углах x = π/3 и 2π/3, но здесь знак минус, значит решения находятся в III и IV квадрантах, где синус отрицательный.
Таким образом, исходя из знания о соответсвующих углах, решения будут:
x = π + π/3 = 4π/3 (III квадрант)
x = 2π - π/3 = 5π/3 (IV квадрант)
Проверим: sin(4π/3) = -√3/2 и sin(5π/3) = -√3/2, что удовлетворяет уравнению.
Ответ: x = 4π/3 и x = 5π/3.
Мысалды дұрыс түсініп алдық: Сізге 2\sin x + \sqrt{3} = 0 теңдеуін [0; 2π] аралығында шешу тапсырмасы берілген.
Алдымен теңдеуді келесі түрде жазамыз:
$$2\sin x + \sqrt{3} = 0.$$
Осыдан:
$$2\sin x = -\sqrt{3},$$
$$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Мұнда \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} мәнін алатын бұрыштарды табу қажет. Үшбұрыштарда синустың осы мәнін алу үшін белгілі бұрыштар төмендегідей:
• \sin \frac{4π}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
• \sin \frac{5π}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Осыған орай, берілген аралықта [0;2π] теңдеуінің шешімдері:
$$x = \frac{4π}{3} \quad \text{және} \quad x = \frac{5π}{3}.$$
Бұл жерде қолданылған негізгі қағида – тригонометриялық функциялардың периодтылығы мен стандартты бұрыш мәндерін білу. Әр бұрыштың синусын есептегенде оң не теріс мән болатынын да есепке алу қажет.
Қорытындылай келе, теңдеудің дұрыс шешімдері:
$$\boxed{x = \frac{4π}{3}, ;\frac{5π}{3}}.$$