Теңдеуді шешіңіз: $2\cosx - 1 = 0$

Математика
1

Теңдеуді шешіңіз: 2\cosx - 1 = 0

Теңдеуді шешіңіз: 2\cosx - 1 = 0

2

Задача заключается в решении уравнения 2cos(x) – 1 = 0.

Сначала перенесём -1 в правую часть:
2cos(x) = 1.
Далее делим обе части уравнения на 2:
cos(x) = 1/2.

Из тригонометрии мы знаем, что косинус равен 1/2 при углах x = π/3 и x = 5π/3 в промежутке [0, 2π). При этом функция косинуса является периодической с периодом 2π, поэтому общий вид решения записывается так:
x = π/3 + 2πk и x = 5π/3 + 2πk,
где k — любое целое число.

Ответ: x = π/3 + 2πk или x = 5π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.

3

Теңдеуді шешу барысында алдымен теңдеуді былай қарастырамыз:

  1. Берілген теңдеу:
    2\cos x - 1 = 0
    Оны оңайлату үшін екі жағынан да 1 қосып, 2-ге бөлеміз:
    2\cos x = 1 → \cos x = \frac{1}{2}

  2. \cos x = \frac{1}{2} теңдеуін шешу үшін тригонометрияда белгілі бұрыштарды еске аламыз.
    \cos x = \frac{1}{2} мәніне, x = \frac{\pi}{3} (60°) және x = \frac{5\pi}{3} (300°) мәндері сәйкес келеді. Бұл бұрыштар косинус мәні оң болатын I және IV шеңберлеріне тиесілі.

  3. Сонымен, жалпы шешім былай жазылады:
    x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k немесе x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k,
    мұндағы k – кез келген бүтін сан.

Мұнда қолданылатын негізгі қағида — тригонометриялық функциялардың периодтылығы. Косинустың периодтығы 2\pi болғандықтан, шешімге 2\pi-дің бүтін еселігін қосамыз.

Осылайша, дұрыс жауап:
x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k же x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, мұндағы k ∈ ℤ.