Теңдеуді шешіңіз: $2\cos^2 x - \cos x = 0$, $x ∈ [0; 2π]$

Математика
1

Теңдеуді шешіңіз: 2\cos^2 x - \cos x = 0, x ∈ [0; 2π].

Теңдеуді шешіңіз: 2\cos^2 x - \cos x = 0, x ∈ [0; 2π].

2

Рассмотрим уравнение 2cos²x – cosx = 0 на отрезке [0; 2π].

Сначала вынесем общий множитель cosx:
cosx (2cosx – 1) = 0.

Это произведение равно 0, если равен нулю хотя бы один из множителей. Получаем два уравнения:

  1. cosx = 0.
    Косинус равен 0 при x = π/2 и x = 3π/2 на данном отрезке.

  2. 2cosx – 1 = 0 → cosx = 1/2.
    Косинус равен 1/2 при x = π/3 и x = 5π/3.

Таким образом, решения уравнения:
x = π/3, π/2, 5π/3, 3π/2.

3

Теңдеуді шешу үшін келесі қадамдарды жасаймыз:

• Алдымен теңдеудегі косинустың ортақ бөлгішін шегеріп аламыз:
2cos²x − cos x = 0
cos x (2cos x − 1) = 0

• Бұл көбейтінді нөлге тең болған жағдайда екі жағдай орындалады:

  1. cos x = 0
  2. 2cos x − 1 = 0, яғни cos x = ½

• Енді интервал [0; 2π] бойынша әрбір жағдайды шешеміз:

  1. cos x = 0
    – cos x нөл болатын бұрыштар: x = π/2 және x = 3π/2.

  2. cos x = ½
    – cos x = ½ шарты орындалатын бұрыштар: x = π/3 және x = 5π/3.

Қорытындылай келе, берілген интервалда теңдеудің шешімдері:
x = π/3, π/2, 3π/2, 5π/3.