Теңдеуді шешіңіз: $2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0$

Математика
1

Теңдеуді шешіңіз: 2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0.

Теңдеуді шешіңіз: 2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0.

2

В условии требуется решить уравнение:

2cos²x – 5cos x + 2 = 0.

Перенесём уравнение к стандартной форме и заметим, что это квадратное уравнение относительно cos x. Обозначим u = cos x, тогда получаем:

2u² – 5u + 2 = 0.

Найдём корни этого уравнения. Для этого можно попробовать разложить на множители. Ищем два числа, произведение которых равно 2∙2=4, а сумма – -5. Это –4 и -1, так как (-4)∙(-1) = 4 и (-4)+(-1) = -5.

Запишем разложение:
2u² – 4u – u + 2 = 0.

Вынесем общий множитель в группах:
2u(u – 2) – 1(u – 2) = 0.

Видим общий множитель (u – 2):
(u – 2)(2u – 1) = 0.

Приравниваем каждую скобку к нулю:
u – 2 = 0 или 2u – 1 = 0.

Отсюда получаем:
u = 2 или u = 1/2.

Учтём, что u = cos x. Напомним, что функция косинуса принимает значения в диапазоне от -1 до 1, поэтому значение cos x = 2 не допускается.

Таким образом, остаётся единственный допустимый случай:
cos x = 1/2.

Косинус равен 1/2 в углах, равных π/3 и 5π/3 (или -π/3). Запишем общее решение:
x = ±π/3 + 2πk, где k ∈ ℤ.

Итак, итог: уравнение имеет решения при x = π/3 + 2πk и x = -π/3 + 2πk, где k – любое целое число.

3

Мына теңдеуді шешуді сұрадың:
(2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0).

Бірінші қадам ретінде, алмастыру әдісін қолданамыз:
айтайық, (y = \cos x). Сонда теңдеу былай болуы мүмкін:
(2y^2 - 5y + 2 = 0).

Осы квадраттық теңдеуді шешеміз. Тобылдап қарасақ,
(2y^2 - 5y + 2 = (2y - 1)(y - 2) = 0).

Яғни, екі түбір аламыз:

  1. (2y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2})
  2. (y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2)

Алайда, косинустың анықталу ауқымы ([-1, 1]) болғандықтан,
(\cos x = 2) мүмкін емес.

Содан соң, тек жарамды түбір қалды:
(\cos x = \frac{1}{2})

(\cos x = \frac{1}{2}) теңдеуінің шешімдерін табу үшін, косинустың мәні (\frac{1}{2}) болатын бұрыштарды еске аламыз.
Мысалы,
(x = \frac{\pi}{3}) немесе (x = \frac{5\pi}{3}) (яғни, (x = -\frac{\pi}{3}) теріс бұрыш ретінде де қарауға болады).
Сонымен, толық жиынтық шешім:
(x = 2\pi k \pm \frac{\pi}{3},) мұнда (k) — кез келген бүтін сан.

Осылайша, теңдеудің түбірлері:
(\cos x = \frac{1}{2}) болғандықтан,
(x = 2\pi k + \frac{\pi}{3}) және (x = 2\pi k - \frac{\pi}{3}).