Теңдеудің шешімдер санын анықтаңыз: \$ |x - 5| = |2x + 1| \$

Математика
1

Теңдеудің шешімдер санын анықтаңыз: $ |x - 5| = |2x + 1| $

Теңдеудің шешімдер санын анықтаңыз: $ |x - 5| = |2x + 1| $

2

Мысалды былай түсіндіруге болады:

Сіз берген теңдеу:
(|x - 5| = |2x + 1|).

Бұндай теңдеуде |A| = |B| болғанда, екі жағдай қарастырылады:
• (A = B)
• (A = -B).

Мысалы, мұнда (A = x - 5) және (B = 2x + 1).

  1. Бірінші жағдай:
    (x - 5 = 2x + 1).
    Осыны шешейік:
    (x - 2x = 1 + 5)
    (-x = 6)
    (x = -6).

  2. Екінші жағдай:
    (x - 5 = -(2x + 1)).
    Осыны шешейік:
    (x - 5 = -2x - 1)
    (x + 2x = -1 + 5)
    (3x = 4)
    (x = \frac{4}{3}).

Әрекеттерді тексерсек:
• (x = -6) болғанда,
(|-6 - 5| = | -11| = 11) және
(|2(-6) + 1| = | -12 + 1| = | -11| = 11).
• (x = \frac{4}{3}) болғанда,
(\left|\frac{4}{3} - 5\right| = \left|\frac{4 - 15}{3}\right| = \frac{11}{3}) және
(\left|2\left(\frac{4}{3}\right) + 1\right| = \left|\frac{8}{3} + \frac{3}{3}\right| = \frac{11}{3}).

Екі шешім де теңдеуді қанағаттандырады. Сондықтан теңдеудің екі шешімі бар.

3

Рассмотрим уравнение |x – 5| = |2x + 1|. Здесь равенство абсолютных значений означает, что выражения под модулем могут быть либо равны друг другу, либо противоположны.

Рассмотрим первый вариант – равенство:
x – 5 = 2x + 1
Выражаем x:
x – 2x = 1 + 5
–x = 6
x = –6
Проверим: |(–6) – 5| = |–11| = 11 и |2·(–6) + 1| = |–12 + 1| = 11. Таким образом, x = –6 действительно является решением.

Во втором варианте выражения противоположны:
x – 5 = –(2x + 1)
Раскрываем скобки:
x – 5 = –2x – 1
Переносим –2x в левую сторону и –5 в правую:
x + 2x = –1 + 5
3x = 4
x = 4⁄3
Проверим: |(4⁄3) – 5| = |(4 – 15)⁄3| = |–11⁄3| = 11⁄3 и |2·(4⁄3) + 1| = |8⁄3 + 1| = |(8 + 3)⁄3| = 11⁄3, так что x = 4⁄3 также удовлетворяет уравнению.

Таким образом, у уравнения два решения: x = –6 и x = 4⁄3.

Ответ: 2 решения.